这是一道在条件限制下，图形确定的几何难题。原题如下：
如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在AD上，且DE = CD，连接OE，BE，∠ABE=1/2∠ACB。若AE= 2，求线段OE的长度。
1 先看标准答案
证明：设∠ABE =α，则∠ACB= 2α。
∵ AD∥BC，
∴ ∠EAF =∠ACB = 2α，
在Rt△AEF中，∠AEF = 90°-α，∠AFE = 180°-∠EAF -∠AEF = 90°-α，
∴ AF = AE = 2，
同理，可得 BC=FC
设线段ED=x，则AE= x，BC = 2+x，FC = BC = 2+x，
在Rt△ABC中，有
解得x=6（省略过程，其实有2个解，舍弃一个）。
过O点做OH⊥AD于H，
∵ 四边形ABCD是矩形，点O是对角线交点，
∴ OH = 1/2AB= 3，AH= 1/2AD= 4，EH =AH -AE = 2，
∴
2 题目分析
这道题存在两个较难的点：
难点1：如何发现AF = AE，BC = FC？
采用本题中的方式来证明等角对等边的方法，不常见，比较难想到。但其中包含了一定的规律，可作为一个”模型“来学习，熟悉之后问题不大。
什么模型呢？
如图，如果∠BAC = 2α，且∠C = 90°-α，则∠B = 180°- (90°- α) - 2α = 90°- α =∠C，即△ABC是等腰三角形。
将这个模型总结为一般命题的形式：在一个三角形中，如果一个角为2α，一个角为90°-α，则这个三角形为等腰三角形。再详细描述的话，2α的角为顶角，90°-α的角为底角。
此外，这个一般命题的逆命题也成立：在等腰三角形中，如果底角度数为90°-α，则顶角的度数为2α。这个结论似乎用处不大，犯不着刻意记忆，但我认为，学习数学，最好养成一种习惯：不要满足于解题答题，要学会自己提问自己，对于一个命题，条件与结论交换以后还成不成立？这样不断深入思考的好处是巨大的，不仅有助于理解、掌握数学，更能培养自己的思考方式及习惯，乃至总结出一套分析问题的方法。
课堂上，我经常劝诫学生：多向前思考一点点。
对于这个模型，如果单放在一个三角形中，玩不出什么花来，但换一个场景，则会大不相同。
如下图所示：在Rt△ABC中，如果∠ABD = 1/2∠C，则有DC =BC，这是直角边与斜边构成的等腰三角形，反之也成立。证明过程较为简单，就不多说了。
事情还没有结束，如果我们继续扩大∠ABD，会发生什么情况呢？如下图所示，保持Rt△ABC不变，增大∠ABD，如果∠ABD = 2∠C，则有AB =BD，这是直角边与三角形内一条线段构成的等腰三角形，反之也成立。特别地，当∠C = 30°时，△ABD是等边三角形。
再向前思考一点，等腰△ABD的对称轴BE是Rt△ABC斜边上的高。大家都知道，直角三角形斜边上的高，把直角三角形分成了两个相似的小直角三角形，这样很多知识点就都串起来了，当然也火起来了。
证明过程也不难，不再展开。
再再向前思考一点，上述两种情况结合起来，不就是本题中图形的一部分吗？答案中先证明了AE=AF，然后用同理证明了FC=BC，事实上，△AEF与△CFB是相似的关系。
这里还可以给我们一个启发：多注意平行线之间的“相似性”，看到一个三角形中的边角关系，要马上联想到与它相似的三角形也具有这种关系。不少同学在做题时忽视这点，看在眼里，急在心里。
回过头来再看一次这个过程，完全可以把讨论的过程编制成一道题：系统学习这个模型，渗透联想、发散的思考问题的方式，提醒学生不要陷入到单纯做题之中，培养学生探索、总结、表达能力……，是不是一举多得呢？可比直接告诉学生要好太多了。
难点2：如何想到要设未知数，利用勾股定理求解，或者说，如何想到长方形的长、宽竟然是确定的？
emmmm……，说实话，比较麻烦，这也是我从过去当学生，到现在做老师，最难回答的问题：你是怎么想到的？我怎么样才能想到呢？
学生想要顺利解答这个题，可能还真需要一定的解题技巧和答题经验。
即便如此，我们也应该思考这样一个问题：这些做题的“技巧”+“经验”，学生怎么去获得？除了“直接告知”+“反复练习”以外，能不能采用“引导学生自行探索发现”+“渗透一定的分析思路”+“适当练习巩固”的方式呢？
对比两种方法，恐怕就是“鱼”与“渔”的区别吧。前一种方法“废”学生，学生能够领会还好，如果不能领会，陷入到无意义的记忆+训练之中，会对学习积极性造成巨大的打击；后一种方法“费”老师，设计这样的教学过程，还是很费脑细胞的，哈哈，“费”老师的另一面，也意味着老师自身的成长。
如何“引导学生探索”先放一边，先看看自己当初是如何思考这道题的。
（1）我没有外在压力，不会想着要是考试，做不出来怎么办？相反，我是一种比较轻松、自由的心态去看待这道题。
我认为这种状态是很重要的，学习不等于做题，学习也不等于考试，做题、考试只是为了检验学习成果的一种方式，仅此而已。如何引导学生正确看待学习与考试的关系，是很重要的，适当的压力可以作为动力，但压力过大，就得不偿失了。
（2）我有不满足眼前的题目，向前探索的习惯。
看到一道几何题，我总喜欢研究这道题是怎么得到的，会不会存在更一般的规律。或者，我会去探索这道题是不是在几个条件限制下的确定图形。那这道题是哪种情况呢？我们先看原题
矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在AD上，且DE = CD，连接OE，BE，∠ABE=1/2∠ACB。若AE= 2，求线段OE的长度。
题中有这么几个条件：
第一，DE=CD，只有关系，没有大小。那我们可以尝试过E做EF⊥BC于F，这样就构成了一个正方形CDEF；
第二，AE=2，这是一个确定的条件，我们可以从正方形CDEF出发，延长DE至A，使AE=2，再过A作AB⊥CF的延长线于B，这样就构成了题中的矩形ABCD；
第三，连接BE，AC，此时要满足∠ABE=1/2∠ACB。
这时，一个想法会很自然的出现：如果改变正方形CDEF的边长，保持AE=2不变，还会出现∠ABE=1/2∠ACB的结论吗？
凭感觉，此结论不对，这算是一个猜想，那如何验证呢？——对数学而言，证明一个命题很难，但要否定一个命题则简单很多，只要举出一个反例即可。
我们来看下图，
从左向右看，正方形CDEF逐渐减小，保持AE = 2不变，我们发现：∠ABE 逐渐增大，而∠ACB逐渐减小。这就说明，两个角度之间的关系是不确定的，∠ABE=1/2∠ACB只是变化过程中的一个特殊情况！
顺着这个思路，我们再向前思考一点：存不存在极限情况，如果存在，会是怎样呢？
当正方形CDEF无限大，AE相比可以忽略，此时AE、BE近乎共线，则∠ABE=0°；相反，当正方形CDEF无限小，AE反而无限大，此时A、B两点无限接近，E、D两点无限接近，A、B、E、D趋于共线，则∠ABE=90°。也就是说，随着正方形CDEF边长从大到小，∠ABE的度数从0°逐渐增大到90°。
与之相对的∠ACB的角度变化情况呢？是不是从90°逐渐减小到0°呢？错！而是从45°逐渐减小到0°。这是因为当AE相比ED无限小时，A、E两点无限接近，此时∠ACB=45°。
很显然，这并不是举反例，真正的举例，应该是给线段CD任意赋2个不同的值，补完整个图形，然后判断两个角度之间的关系，最直接也是最无脑的办法，就是用量角器量。
那我为什么想要这么思考呢？一来，我自己已经非常习惯于这种思考方式；二来，我认为这种方式可以锻炼学生的动态想象能力，尤其是极限想象能力，并且这种能力很重要，所以想尝试带给学生。
经过以上分析，我们可以得到这样一个结论：这道题中，矩形ABCD的长、宽是确定的，求出了长、宽的长度，线段OE的长度就会很容易求出来。
（3）如何求长方形的宽呢？
方程思想，数学中非常非常非常重要的一种基本思想！找关系、列方程！这点不用多说。
在几何中，涉及长度关系的定理有哪些呢？最最常见的是勾股定理，利用相似找关系也比较常见。
到这里，思路上，就会清楚很多了。
不得不说，这道题还是很精巧，很有水平的。
最后多说一句，对比一下两种不同类型的几何题：
第一种，在条件的限制下，存在一般规律。这时给出一条线段求另一条线段，一般就是倍数关系，通过构造全等等方式直接求；
第二种，在条件的限制下，图形确定。这是给出一条线段，可能通过已知条件直接求，也可能间接求。能直接求的一般比较容易，需要间接求的大多比较难。
3 搭台阶，改编题目，引导学生在学习模型中收获更多
尝试着改编一下
1. 如下图，在△ABC中，∠BAC = 2α，∠C = 90°-α，求证△ABC是等腰三角形。
2. 如下图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°。
（1）如果∠ABD = 1/2∠C，请猜想线段BC、CD的关系，并证明；
（2）请描述第（1）中所表示的一般规律，并思考条件结论交换后是否仍然成立；
（3）保持Rt△ABC不变，逐渐增大∠ABD，直至∠ABD = 2∠C，请画出此时的图形，并探索其中可能的一般规律。
（4）对于第（3）题中你探索出的一般规律，当条件与结果互逆，规律还成立吗？
题目之所以这样设置，出于以下几个目的：
（1）学习“模型”与“套路”——不是排斥所谓的“模型”与“套路”，只是警惕该以怎样的方式带给学生；
（2）除了具体的知识以外，尽量带给学生一些更重要的“能力”——几何直观，大胆猜想、小心求证的意识与能力，总结意识与能力（对本题而言，就是从题目中总结出一般命题、逆命题及证明），探索能力等。就我个人而言，我特别看重“意识”，比如分析的意识，反思的意识，总结的意识等等，“意识”不等于能力，但却意味着可能性。只要保留“意识”的种子，并加以适当的耕耘，或早或晚，或大或小，总会开出不一样的花朵。
（3）第1题，看似无脑，也是为了照顾到基础比较弱的同学，对于思维比较好的同学，可以跳过直接给第2题。
“为未来保留一丝可能性”
4 总结
（1）不要满足于教给学生“知识”，进一步思考什么更需要教？“能力”无法直接教，必须要借助具体的载体，也就是具体的“知识”，并且需要学生自己去完成，谁也代替不了。
（2）就能力而言，知识好比磨刀石，只有经过具体知识的磨砺，才能发展出相应的能力。从这个角度考虑看，“知识重要”还是“能力重要”的辨析就是个伪命题。真正需要辨析的，是学习知识的正确方式：正确的学习方式，既可以获得知识，也容易获得相应的能力；错误的学习方式，不仅学不到能力，学到的知识也是无甚用处的死知识。错误的磨刀方式，只会使刀越来越钝。
（3）时刻提醒自己，要警惕自己对能力，或者说数学的核心素养的理解，要持续不断地充实自己。
（4）以上所说，并不仅限于初中几何难题，具体的数学内容，或许有不同的处理方法，但初心与本题是相同的。
（5）要想沿着这个思路做好，不会是一件容易的事情，但我相信，只要我有这个意识，加上以日以年的努力，一定会有所突破。而且，这本身就是一个互相成就的过程。
（6）“苟利学生欣然以，岂因繁琐避趋之”