C语言丨求两个正整数的最大公约数

两个正整数的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）是能够整除这两个整数的最大整数。两个正整数的最大公约数的求法有多种解答，本文就三种方法做详细介绍：穷举法、欧几里得算法（辗转相除法）、递归方法。

我们从一道问题来引入：编写计算最大公约数的函数Gcd()，在主函数中调用该函数计算并输出从键盘任意输入的最大公约数。

目录

1.穷举法

2.欧几里得算法（辗转相除法）

3.递归方法

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1.穷举法

根据最大公约数的定义，我们可以采用一种最简单的方法——穷举法来编写代码。由于a和b的最大公约数不可能比a和b中的较小者还大，否则一定不能整除它，因此，先找到a和b中的较小者t，然后从t开始逐次减1尝试每种可能，即检验t到1之间的所有整数，第一个满足公约数条件的t，就是a和b的最大公约数。据此我们可编写函数Gcd()如下：

//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
    int i, t;
    if (a <=0 || b <= 0)
        return -1;
    t = a < b ? a : b;
    for (i=t; i>0; i--)
    {
        if (a%i==0 && b%i==0)
            return i;
    }
    return 1;
}

这种方法简单暴力，思维量小，但效率较低，且当两个正整数都较大，且最大公约数为1时，循环的次数为较小数的值，可想而知所需时间会很长。

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2.欧几里得算法（辗转相除法）

下面介绍一种求最大公约数较常用的办法：欧几里得算法（辗转相除法）。

忽略数学原理，我们有如下算法：对正整数a和b，连续进行求余运算，直到余数为0为止，此时非0的除数就是最大公约数。设 r=a mod b 表示a除以b的余数，若 r≠0 ，则将b作为新的a，r作为新的b，重复 a mod b 运算，直到 r=0 为止，此时b为所求的最大公约数。例如，50和15的最大公约数的求解过程可表示为：Gcd(50, 15)=Gcd(15, 5)=Gcd(5, 0)=5。

用这种算法可编写函数Gcd()如下：

//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
    int r;
    if (a <= 0 || b <= 0)
        return -1;
    do{
        r = a % b;
        a = b;
        b = r;
    } while (r != 0);
    return a;
}

我们也可以考虑使用递归实现如下：

//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
    if (a <= 0 || b <= 0)
        return -1;
    if (a % b == 0)
        return b;
    else
        return Gcd(b, a % b);
}

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3.递归方法

对于最大公约数，还有3条性质：

性质1 如果 a>b，则a和b与a-b和b的最大公约数相同；

性质2 如果 b>a，则a和b与a和b-a的最大公约数相同；

性质3 如果 a=b，则a和b的最大公约数与a值和b值相同。

对正整数a和b，当 a>b 时，若a中含有与b相同的公约数，则a中去掉b后剩余的部分a-b中也应含有与b相同的公约数，对a-b和b计算公约数就相当于对a和b计算公约数。反复使用最大公约数的3条性质，直到a和b相等为止，这时，a或b就是它们的最大公约数。

这就是所谓的第三种方法：递归方法。虽然此法被称为递归方法，但只是思想方法运用了递归的方法，并不代表只能使用递归实现。我们同样可以通过非递归和递归两种手段编写函数Gcd()。非递归实现如下：

//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
    if (a <= 0 || b <= 0)
        return -1;
    while (a != b)
    {
        if (a > b)
            a = a - b;
        else if (b > a)
            b = b - a;
    }
    return a;
}

编写递归函数如下：

//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
    if (a <= 0 || b <= 0)
        return -1;
    if (a == b)
        return a;
    else if (a > b)
        return Gcd(a-b, b);
    else
        return Gcd(a, b-a);
}

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以上就是三种计算最大公约数的算法，可使用如下主函数来调用函数Gcd()，计算最大公约数：

#include 
int Gcd(int a, int b);
int main(void)
{
    int a, b, c;
    printf("Input a,b:");
    scanf("%d,%d", &a, &b);
    c = Gcd(a,b);
    if (c != -1)
        printf("Greatest Common Divisor of %d and %d is %d\n", a, b, c);
    else
        printf("Input number should be positive!\n");
    return 0;
}

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求两个正整数的最大公约数的过程，实质上是使用最大公约数的定义及性质求解的过程，对此感兴趣的伙伴们可以自己研究相关数学原理与证明。

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参考文献：

苏小红 王甜甜 赵玲玲 范江波 车万翔 等编著 王宇颖 主审，C语言程序设计学习指导（第4版），高等教育出版社，P57-60.