两个正整数的最大公约数(Greatest Common Divisor, GCD)是能够整除这两个整数的最大整数。两个正整数的最大公约数的求法有多种解答,本文就三种方法做详细介绍:穷举法、欧几里得算法(辗转相除法)、递归方法。
我们从一道问题来引入:编写计算最大公约数的函数Gcd(),在主函数中调用该函数计算并输出从键盘任意输入的最大公约数。
目录
1.穷举法
2.欧几里得算法(辗转相除法)
3.递归方法
根据最大公约数的定义,我们可以采用一种最简单的方法——穷举法来编写代码。由于a和b的最大公约数不可能比a和b中的较小者还大,否则一定不能整除它,因此,先找到a和b中的较小者t,然后从t开始逐次减1尝试每种可能,即检验t到1之间的所有整数,第一个满足公约数条件的t,就是a和b的最大公约数。据此我们可编写函数Gcd()如下:
//函数功能:计算a和b的最大公约数,输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
int i, t;
if (a <=0 || b <= 0)
return -1;
t = a < b ? a : b;
for (i=t; i>0; i--)
{
if (a%i==0 && b%i==0)
return i;
}
return 1;
}
这种方法简单暴力,思维量小,但效率较低,且当两个正整数都较大,且最大公约数为1时,循环的次数为较小数的值,可想而知所需时间会很长。
下面介绍一种求最大公约数较常用的办法:欧几里得算法(辗转相除法)。
忽略数学原理,我们有如下算法:对正整数a和b,连续进行求余运算,直到余数为0为止,此时非0的除数就是最大公约数。设 r=a mod b 表示a除以b的余数,若 r≠0 ,则将b作为新的a,r作为新的b,重复 a mod b 运算,直到 r=0 为止,此时b为所求的最大公约数。例如,50和15的最大公约数的求解过程可表示为:Gcd(50, 15)=Gcd(15, 5)=Gcd(5, 0)=5。
用这种算法可编写函数Gcd()如下:
//函数功能:计算a和b的最大公约数,输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
int r;
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
do{
r = a % b;
a = b;
b = r;
} while (r != 0);
return a;
}
我们也可以考虑使用递归实现如下:
//函数功能:计算a和b的最大公约数,输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
if (a % b == 0)
return b;
else
return Gcd(b, a % b);
}
对于最大公约数,还有3条性质:
性质1 如果 a>b,则a和b与a-b和b的最大公约数相同;
性质2 如果 b>a,则a和b与a和b-a的最大公约数相同;
性质3 如果 a=b,则a和b的最大公约数与a值和b值相同。
对正整数a和b,当 a>b 时,若a中含有与b相同的公约数,则a中去掉b后剩余的部分a-b中也应含有与b相同的公约数,对a-b和b计算公约数就相当于对a和b计算公约数。反复使用最大公约数的3条性质,直到a和b相等为止,这时,a或b就是它们的最大公约数。
这就是所谓的第三种方法:递归方法。虽然此法被称为递归方法,但只是思想方法运用了递归的方法,并不代表只能使用递归实现。我们同样可以通过非递归和递归两种手段编写函数Gcd()。非递归实现如下:
//函数功能:计算a和b的最大公约数,输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
while (a != b)
{
if (a > b)
a = a - b;
else if (b > a)
b = b - a;
}
return a;
}
编写递归函数如下:
//函数功能:计算a和b的最大公约数,输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
if (a == b)
return a;
else if (a > b)
return Gcd(a-b, b);
else
return Gcd(a, b-a);
}
以上就是三种计算最大公约数的算法,可使用如下主函数来调用函数Gcd(),计算最大公约数:
#include
int Gcd(int a, int b);
int main(void)
{
int a, b, c;
printf("Input a,b:");
scanf("%d,%d", &a, &b);
c = Gcd(a,b);
if (c != -1)
printf("Greatest Common Divisor of %d and %d is %d\n", a, b, c);
else
printf("Input number should be positive!\n");
return 0;
}
求两个正整数的最大公约数的过程,实质上是使用最大公约数的定义及性质求解的过程,对此感兴趣的伙伴们可以自己研究相关数学原理与证明。
苏小红 王甜甜 赵玲玲 范江波 车万翔 等编著 王宇颖 主审,C语言程序设计学习指导(第4版),高等教育出版社,P57-60.