七.背包问题的方案总数

题记

对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。

方法

背包问题的方案总数取决于具体的问题。一般而言，背包问题分为01背包问题和完全背包问题两种情况。在一个01背包问题中，物品只能选择取或不取；而在一个完全背包问题中，每个物品可以被选择多次。

在01背包问题中，假设有n个不同的物品，背包容量为W，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]。我们可以使用动态规划的方法来求解该问题，其中令dp[i][j]为前i个物品放入容量为j的背包中能获得的最大价值。则状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中dp[0][j] = 0，dp[i][0]=0。因此方案总数为dp[n][W]。

在完全背包问题中，假设有n个不同的物品，背包容量为W，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]。同样也是使用动态规划的方法来求解，不过状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])

其中dp[0][j] = 0，dp[i][0]=0。因此方案总数为dp[n][W]。

1273：【例9.17】货币系统

【题目描述】
给你一个n种面值的货币系统，求组成面值为m的货币有多少种方案。

【输入】
第一行为n和m。

【输出】
一行，方案数。

【输入样例】

3 10        //3种面值组成面值为10的方案
1           //面值1
2           //面值2
5           //面值5

【输出样例】

10          //有10种方案

代码

【思路】设dp[j]表示面值为j的方案总数，如果dp[j-a[i]]!=0，则dp[j]=dp[j]+dp[j-a[i]]，1<=i<=n，a[i]<=j<=m

#include
using namespace std;
int main() {
	int n,m,a[10001]= {0};
	long long dp[10001]= {0};
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		cin>>a[i];
	dp[0]=1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=a[i]; j<=m; j++)
			dp[j]+=dp[j-a[i]];
	cout<<dp[m];
	return 0;
}