七.背包问题的方案总数

七.背包问题的方案总数

  • 题记
  • 方法
  • 1273:【例9.17】货币系统
  • 代码

题记

对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系(分组、依赖等)的背包问题除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外,还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。

方法

背包问题的方案总数取决于具体的问题。一般而言,背包问题分为01背包问题和完全背包问题两种情况。在一个01背包问题中,物品只能选择取或不取;而在一个完全背包问题中,每个物品可以被选择多次。

在01背包问题中,假设有n个不同的物品,背包容量为W,每个物品的重量为w[i],价值为v[i]。我们可以使用动态规划的方法来求解该问题,其中令dp[i][j]为前i个物品放入容量为j的背包中能获得的最大价值。则状态转移方程为:

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中dp[0][j] = 0,dp[i][0]=0。因此方案总数为dp[n][W]。

在完全背包问题中,假设有n个不同的物品,背包容量为W,每个物品的重量为w[i],价值为v[i]。同样也是使用动态规划的方法来求解,不过状态转移方程为:

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])

其中dp[0][j] = 0,dp[i][0]=0。因此方案总数为dp[n][W]。

1273:【例9.17】货币系统

【题目描述】
给你一个n种面值的货币系统,求组成面值为m的货币有多少种方案。

【输入】
第一行为n和m。

【输出】
一行,方案数。

【输入样例】

3 10        //3种面值组成面值为10的方案
1           //面值1
2           //面值2
5           //面值5

【输出样例】

10          //有10种方案

代码

【思路】设dp[j]表示面值为j的方案总数,如果dp[j-a[i]]!=0,则dp[j]=dp[j]+dp[j-a[i]],1<=i<=n,a[i]<=j<=m

#include
using namespace std;
int main() {
	int n,m,a[10001]= {0};
	long long dp[10001]= {0};
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		cin>>a[i];
	dp[0]=1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=a[i]; j<=m; j++)
			dp[j]+=dp[j-a[i]];
	cout<<dp[m];
	return 0;
}

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