脑电数据的频域分析

引入

不同于ERPs数据常用的时域分析，还有一种分析方法是频域分析。
频域分析适用的数据要更加广泛，不仅可以用来分析ERPs的数据（主要是刺激前后），还可以用来分析resting EEG的数据。

频域分析简单理解就是把时域分析中的横坐标的时间换成频域，纵坐标的幅值换成power。这样的话，它更加关注就不是随着时间进程脑电波幅的变化，而是能量的分布，即每种频段的power。

power 这个词经常指的是：振幅的平方 or 以dB为单位的值（i.e.振幅平方的对数形式）

频域图

时域变换成频域

对于时域上的分析比较好理解，直接去观察每个通道上的波形随着时间的变化就可以了。而在频域上的分析要如何获取呢？

要想理解频域分析，首先要了解信号是能够从时域转换成频域的。

我们都知道，脑电设备采集到的数据实际上就是一种信号。任何复杂信号——例如音乐信号，都可以看成由许许多多频率不同、大小不等的正弦波复合而成[1]。

对于每一个正弦波来说都可以有三个特征，这三个特征也确定了一个正弦波形：振幅、频率、相位。
正弦曲线可表示为y=Asin(ωx+φ)+k，定义为函数y=Asin(ωx+φ)+k在直角坐标系上的图象，其中sin为正弦符号，x是直角坐标系x轴上的数值，y是在同一直角坐标系上函数对应的y值，k、ω和φ是常数（k、ω、φ∈R且ω≠0）
A——振幅，当物体作轨迹符合正弦曲线的直线往复运动时，其值为行程的1/2。
(ωx+φ)——相位，反映变量y所处的状态。
φ——初相，x=0时的相位；反映在坐标系上则为图像的左右移动。
k——偏距，反映在坐标系上则为图像的上移或下移。
ω——角速度， 控制正弦周期(单位弧度内震动的次数)[2]。

正弦函数

傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加[3]。
所以，通过这种原理，我们就可以把信号变成许许多多频率不同、大小不等的正弦波。这样自然可以获得频域上的信息了。

对于一个连续信号来说，可以通过傅里叶，把一个波形分解成若干个正弦波。

• 周期连续信号
  对周期连续信号可以做傅里叶分解，周期连续信号转化频谱，周期越大，横轴的频率点就越密集

• 非周期连续信号
  对非周期连续信号可以做傅里叶变换，非周期的连续信号其实就相当于是周期无穷大，因此，在频谱图中，频率点的间隔越小，越密集，越连续。

对于EEG数据来说，实际上是一种非周期的、非连续的数据，主要还是依赖于数据的采样率。如果采样率高的话，数据就越接近连续数据。但是事实上，就算采样率再高，这也是一种非连续数据。
因此，EEG就是非周期的离散信号。所以，对EEG数据来说，频率轴是有限制的。可以获得的数据收到采样率的影响。这也就是尼奎斯定理，即采样定理。
所以，可以对EEG数据也进行傅里叶变换来探讨其在频域上的特点。

傅里叶变换

参考：
[1]https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E6%B3%A2/8995467?fr=aladdin
[2]https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E6%9B%B2%E7%BA%BF/4750079
[3]https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B8%E4%BD%8D%E8%B0%B1/416418