最长 上升子序列

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最长上升子序列

状态表示：

集合：所以**a[i]**为结尾的严格单调递增的子序列

属性：max

注：子序列的结尾必定是以某个数a[i]作为结尾，我们求出所有数作为结尾的子序列**，然后取一个max即可。

划分依据：最后一个不同的点

所有以a[i]为结尾的子序列，说明a[i]均相同，我们根据最后一个不同的点划分。

状态计算：

根据最后一个不同的点，可以将最后一个不同的点以**a[1]、a[2]、a[3]、…a[i-1]这几类进行划分，由于这几类划分标准的共同点均是以a[i]结尾，所以最后再加上a[i]这个点即可，即长度加1**。

得到状态转移方程如下：

$$f[i]=Math.max(f[i],f[j]+1)$$
特殊情况：只有a[i]自己一个数的时候，此时长度为1。这里需要在循环时进行特判，如果前面找不到比a[i]小的数，即a[j]>=a[i]时，则不需要更新长度。

为什么需要特判？

a[j]>a[i]:我们是以a[i]作为结尾的子序列,子序列严格递增,a[i]是最大的那个数。前面出现比a[i]大的数就不满足这一条件，不需更新长度。
a[j]=a[i]:当出现a[j]=a[i]时说明这两个数相同,我们只需要保留**a[i]这个数即可。即长度为1

Accode

import java.util.*;
public class Main{
    static int N=1010;
    static int a[]=new int[N];
    static int f[]=new int[N];
    public static void main(String []args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=sc.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            f[i]=1;//初始化每个i结尾的序列长度为1
            for(int j=1;j<i;j++){
                if(a[j]<a[i]){
                //特判一下
                //a[j]
                //a[j]>=a[i]说明序列不合法
                    f[i]=Math.max(f[i],f[j]+1);
                }
            }
        }
        long res=f[1];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            res=Math.max(res,f[i]);
        }
        System.out.println(res);
    }
}