04有监督算法——支持向量机

1.支持向量机

1.1 定义

支持向量机( Support Vector Machine ）要解决的问题
什么样的法策边界才是最好的呢?
特征数据本身如果就很难分,怎么办呢?
计算复杂度怎么样?能实际应用吗?

支持向量机（ Support Vector Machine , SVM)是一类按监督学习( supervised learning )方式对数据进行二元分类的广义线性分类器( generalized linear classifier ) 。

其决策边界是对学习样本求解的最大边距超平面( maximum-margin hyperplane ) 。

找到集合边缘上的若干数据（称为支持向量(Support Vector ) )，用这些点找出一个平面（称为决策面)，使得支持向量到该平面的距离最大。

任意超平面可以用下面这个线性方程来描述：$${\mathrm{W}}^{\mathrm{T}}\mathrm{x}+b=0$$

点到平面的距离：$${\mathrm{W}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{x}}^{\prime }=-b,W^T{X}^{\prime \prime }=-b$$

d i s t a n c e ( x , b , w ) = ∣ W T ∥ W ∥ ( x − x ′ ) ∣ = 1 ∥ W ∥ ∣ W T x + b ∣ {\rm{distance(x,b,w) = }}\left| {{{{{\rm{W}}^{\rm{T}}}} \over {\left\| W \right\|}}(x - {\rm{x'}})} \right|{\rm{ = }}{{\rm{1}} \over {\left\| W \right\|}}\left| {{{\rm{W}}^{\rm{T}}}x + b} \right| distance(x,b,w)= ​∥W∥WT​(x−x′) ​=∥W∥1​ ​WTx+b ​

1.2 SVM软间隔

1.3 SVM核变换

核函数，可以将样本从原始空间映射到一个更高维的特质空间中，使得样本在新的空间中线性可分。

• 线性核变换：$$K(x_i,x_j)=x_i^T{x}_j$$
• 多项式核变换：$$K(x_i,x_j)=(x_i^T{x}_j{)}^d$$
• 高斯核函数：$$K(x_i,x_j)=\exp (-\frac{\Vert x_i-y_i\Vert }{2y^2})$$