【题解】剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

题目描述

原题链接：剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

题干

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例输入

输入：n = 2
输出：1

输入：n = 5
输出：5

约束

0 <= n <= 100

解题思路

思路1——递推

利用斐波那契数列的F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)递推关系式进行计算

思路2——矩阵快速幂

首先对于斐波那契数列的递推关系式可以将其扩展为一个矩阵：
$$\begin{gathered} F(n)=F(n-1)+F(n-2)\Rightarrow \\ \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}F(n)+F(n-1)\\ F(n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}F(n+1)\\ F(n)\end{array}\right] \end{gathered}$$
因此，$\left[\begin{array}{c}F(n+1)\\ F(n)\end{array}\right]$可以表示为：
$$\left[\begin{array}{c}F(n+1)\\ F(n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n-1)\end{array}\right]=(\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]{)}^2\left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n-2)\end{array}\right]=\cdots =(\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]{)}^n\left[\begin{array}{c}F(1)\\ F(0)\end{array}\right]$$
故只需要使用矩阵快速幂的方法快速计算$(\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]{)}^n$即可

代码实现——Java

思路1

class Solution {
    private static final int modd = 1000000007;

    public int fib(int n) {
        int a=0,b=1;
        if (n==0) return 0;
        if (n==1) return 1;
        for (int i=2;i<=n;i++) {
            int temp = b;
            b=(a+b)%modd;
            a=temp;
        }
        
        return b;
    }
}

思路2

public class Solution {
    private static final int modd = 1000000007;

    public int fib(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = quick_pow(q, n - 1);
        return res[0][0];
    }

    /**
     * 实现快速幂
     * @param a
     * @param n
     * @return
     */
    public int[][] quick_pow(int[][] a, int n) {
        int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                ret = multiply(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }

    /**
     * 实现矩阵的乘法
     * @param a
     * @param b
     * @return
     */
    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        // 这里添加矩阵乘法语法正确判断

        int[][] c = new int[a.length][b[0].length];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = 0; j < b[0].length; j++) {
                for (int k=0; k < b.length; k++) {
                    c[i][j] = (int) (((long) c[i][j] + (long) a[i][k] * b[k][j]) % modd);
                }
            }
        }
        return c;
    }
}