Numpy入门（3）—线性代数

线性代数

线性代数（如矩阵乘法、矩阵分解、行列式以及其他方阵数学等）是任何数组库的重要组成部分，NumPy中实现了线性代数中常用的各种操作，并形成了numpy.linalg线性代数相关的模块。本节主要介绍如下函数：

• diag：以一维数组的形式返回方阵的对角线（或非对角线）元素，或将一维数组转换为方阵（非对角线元素为0）。
• dot：矩阵乘法。
• trace：计算对角线元素的和。
• det：计算矩阵行列式。
• eig：计算方阵的特征值和特征向量。
• inv：计算方阵的逆。

向量与矩阵：

矩阵：有多行多列元素组成的一个集合，一个m*n的矩阵，有m行n列个元素

向量：如果一个矩阵只有一列，那么就是一个列向量；如果只有一行，那么就是一个行向量

从某个角度来说，矩阵就是由多个向量组成的

矩阵相乘：

A矩阵：m行

B矩阵：n列

前提：m=n

C矩阵：AB乘积

• 乘积C的第m行、n列 = 矩阵A的第m行的元素与矩阵B第n列元素的乘积之和

# 矩阵相乘
a = np.arange(12)
b = a.reshape([3, 4])
c = a.reshape([4, 3])
# 矩阵b的第二维大小，必须等于矩阵c的第一维大小
d = b.dot(c) # 等价于 np.dot(b, c)
print('a: \n{}'.format(a))
print('b: \n{}'.format(b))
print('c: \n{}'.format(c))
print('d: \n{}'.format(d))

a:
[ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11]
b:
[[ 0 1 2 3]
[ 4 5 6 7]
[ 8 9 10 11]]
c:
[[ 0 1 2]
[ 3 4 5]
[ 6 7 8]
[ 9 10 11]]
d:
[[ 42 48 54]
[114 136 158]
[186 224 262]]

# numpy.linalg  中有一组标准的矩阵分解运算以及诸如求逆和行列式之类的东西
# np.linalg.diag 以一维数组的形式返回方阵的对角线（或非对角线）元素，
# 或将一维数组转换为方阵（非对角线元素为0）
e = np.diag(d)
f = np.diag(e)
print('d: \n{}'.format(d))
print('e: \n{}'.format(e))
print('f: \n{}'.format(f))

d:
[[ 42 48 54]
[114 136 158]
[186 224 262]]
e:
[ 42 136 262]
f:
[[ 42 0 0]
[ 0 136 0]
[ 0 0 262]]

# trace, 计算对角线元素的和
g = np.trace(d)
g

440

# det，计算行列式
h = np.linalg.det(d)
h

1.3642420526593978e-11

# eig，计算特征值和特征向量
i = np.linalg.eig(d)
i

(array([4.36702561e+02, 3.29743887e+00, 3.13152204e-14]), array([[ 0.17716392, 0.77712552, 0.40824829], [ 0.5095763 , 0.07620532, -0.81649658], [ 0.84198868, -0.62471488, 0.40824829]]))

# inv，计算方阵的逆
tmp = np.random.rand(3, 3)
j = np.linalg.inv(tmp)
j

array([[-0.59449952, 1.39735912, -0.06654123], [ 1.56034184, -0.40734618, -0.48055062], [ 0.10659811, -0.62164179, 1.30437759]])

补充：矩阵的逆

矩阵的逆是指对于一个n维的矩阵A，存在一个n维的矩阵B，使得A乘以B等于单位矩阵E，即AB=BA=E。其逆矩阵求解方法，有以下几种：

伴随矩阵法： 伴随矩阵法是求解矩阵逆的一种方法。对于一个n维矩阵A，其逆矩阵可以用下式表示：A^(-1)=1/|A| * Adj(A)，其中|A|表示A的行列式，Adj(A)表示A的伴随矩阵。伴随矩阵的求法是：先求出矩阵A的代数余子式，然后将其转置得到的矩阵即为伴随矩阵。

初等变换法： 初等变换法是求解矩阵逆的另一种方法。将待求逆的矩阵A和单位矩阵E按行合并成一个矩阵[A|E]，然后对其进行初等变换，直到左边的矩阵变为单位矩阵，右边的矩阵即为所求的逆矩阵。

高斯-约旦消元法： 高斯-约旦消元法也是求解矩阵逆的一种方法。将待求逆的矩阵A和单位矩阵E按列合并成一个矩阵[A|E]，然后对其进行高斯-约旦消元，直到左边的矩阵变为单位矩阵，右边的矩阵即为所求的逆矩阵。

分块矩阵法： 分块矩阵法适用于分块矩阵的求逆，即将一个大的矩阵分成多个小的矩阵。其方法是将大矩阵A分成四个小矩阵A11、A12、A21、A22，并根据矩阵分块公式求出逆矩阵。

代码合集

import numpy as np


def func1():
    a = np.arange(12)
    b = a.reshape([3, 4])
    c = a.reshape([4, 3])
    # 矩阵b的第二维大小，必须等于矩阵c的第一维大小
    d = b.dot(c)  # 等价于 np.dot(b, c)
    # np.dot(b, c)
    print('a: \n{}'.format(a))
    print('b: \n{}'.format(b))
    print('c: \n{}'.format(c))
    print('d: \n{}'.format(d))

    # numpy.linalg  中有一组标准的矩阵分解运算以及诸如求逆和行列式之类的东西
    # np.linalg.diag 以一维数组的形式返回方阵的对角线（或非对角线）元素，
    # 或将一维数组转换为方阵（非对角线元素为0）
    print("=========linalg test=========")
    e = np.diag(d)
    f = np.diag(e)
    print('d: \n{}'.format(d))
    print('e: \n{}'.format(e))
    print('f: \n{}'.format(f))

    # 计算对角线元素之和
    g = np.trace(d)
    print(g)
    # det，计算行列式
    h = np.linalg.det(d)
    print(h)
    # eig，计算特征值和特征向量
    i = np.linalg.eig(d)
    print(i)


def func2():
    # 计算方阵的逆
    # https://blog.51cto.com/u_15072903/3963066
    tmp = np.random.rand(3, 3)
    print(tmp)
    j = np.linalg.inv(tmp)
    print(j)

    print(tmp.dot(j))
    print(j.dot(tmp))


if __name__ == "__main__":
    # func1()
    func2()