动态规划——最长上升子序列

首先：什么是最长上升子序列？

最长上升子序列是指：给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

状态表示： 所有以i结尾的严格单调上升的子序列的长度的集合（MAX）

状态计算： 以倒数第二个元素为分界（因为最后一个元素肯定是i）（如果倒数第二位是第0位的话，也说明这个上升子序列就只有一个元素，也就是$a[i]$；如果是一般情况，只需要判断在严格单调上升的前提下，枚举以倒数第二个元素为结尾的上升子序列长度和加上第i个元素的长度求一个最大值就行（可能说的有点问题，看下代码吧）

#include 

using namespace std;

int n;
int a[1000 + 10];
int f[1000 + 10]; // f[i]表示以i结尾的最长的子序列的长度

int main(){
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i];
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        f[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++){
            if(a[j] < a[i]){
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
            }
        }
        ans = max(ans, f[i]); //注意集合的含义，并不是像背包那样来套f数组，不要思维定式
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

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nlgon做法

使用q[]存储不同长度的严格单调递增序列中最后一个数的最小值

q[]严格单调递增

证明
反证法，假设：

假设存在$q[i]\le q[i-1]$，即q[i]不满足单调递增

那么在长度为$i$的最长上升子序列中，第i - 1个元素一定比第i个元素要小，那么我们就找到了一个长度为$i-1$的最长上升子序列，存储的该序列中的最后一个数x满足$x\le q[i]\le q[i-1]$，根据我们q数组的定义，q存的是序列中最后一个数的最小值，那么这样就与我们的定义矛盾了。那么假设不成立

又因为q数组的定义，

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算法实现

通过构造q[]，求出最长严格单调递增子序列的长度len：

1. 遍历序列中的每个数a[i]

2. 如果a[i]>q[len]，q[++len]=a[i]

3. 否则在q[]数组中找到第一个大于等于a[i]的数，将其更新为a[i]

输出len

#include 
#include 

using namespace std;

int n;
int q[100000 + 10];
int a[100000 + 10];

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        scanf("%d", a + i);
    }
    
    q[0] = -2e9;
    int len = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(q[len] < a[i]) q[++len] = a[i];
        else{
            int id = lower_bound(q + 1, q + 1 + len, a[i]) - q;
            q[id] = a[i];
        }
        
    }
    
    cout << len;
    
    return 0;
}