UVA 11255 Necklace（Burnside引理）

题目链接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2222

题意：有三种不同颜色的珠子，白（W颗），灰（G颗），黑（B颗）， 其中3<=W+G+B<=40，问用这些珍珠可以串成多少种(W+G+B)长的不同的项链（项链可在平面内转动，也可翻转）。

思路：令n=W+G+B,（1）旋转：想想，对于每一种置换，我们要找出在这种置换下哪些排列在置换后还是这样。旋转有n种情况，分别是旋转0，1,2……，n-1个。比如，旋转2，设n=12,那么所有的分成2组，每组6个。这两组要保持一样，那么WGB在每组中的个数和排列方式是一样的，此时必须WGB都是偶数才行，进而问题转化成W/2,G/2,B/2个在一组中的排列的个数有多少种（另一组跟这组的排列一样无需再计算），这就是一个简单的组合计算。因此，枚举n的约数i,k=n/Gcd(n,i)，WGB都是k的倍数才可以，然后就是W/k、G/k、B/k的排列；（2）翻转：WGB中有0个奇数，绕对边的轴转和绕相对的顶点的轴转；有1个奇数，绕一个顶点一条边中点的轴转；有2个奇数，设WG为奇数，绕两个相对顶点的轴转，两个顶点分别是WG。

void init()

{

    int i,j;

    C[0][0]=1;

    FOR1(i,40)

    {

        C[i][0]=C[i][i]=1;

        FOR1(j,i-1) C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];

    }

}





int Gcd(int x,int y)

{

    return !y?x:Gcd(y,x%y);

}





int x,y,z,n,T;



int main()

{

    init();

    RD(T);

    while(T--)

    {

        RD(x,y,z);

        n=x+y+z;

        int i,k;

        u64 ans=0;

        FOR1(i,n)

        {

            k=n/Gcd(n,i);

            if(x%k==0&&y%k==0&&z%k==0)

            {

                ans+=C[n/k][x/k]*C[(y+z)/k][y/k];

            }

        }

        int cnt=x%2+y%2+z%2;

        if(cnt==1)

        {

            if(x&1) ans+=C[n/2][(x-1)/2]*C[(y+z)/2][y/2]*n;

            else if(y&1) ans+=C[n/2][(y-1)/2]*C[(x+z)/2][x/2]*n;

            else ans+=C[n/2][(z-1)/2]*C[(x+y)/2][x/2]*n;

        }

        else if(cnt==0)

        {

            ans+=n/2*C[n/2][x/2]*C[(y+z)/2][y/2];

            if(x>=2) ans+=n/2*C[n/2-1][x/2-1]*C[(y+z)/2][y/2];

            if(y>=2) ans+=n/2*C[n/2-1][y/2-1]*C[(x+z)/2][x/2];

            if(z>=2) ans+=n/2*C[n/2-1][z/2-1]*C[(x+y)/2][x/2];

        }

        else if(cnt==2)

        {

            if(x%2==0) ans+=n*C[n/2-1][x/2]*C[(y+z-2)/2][(y-1)/2];

            else if(y%2==0) ans+=n*C[n/2-1][y/2]*C[(x+z-2)/2][(x-1)/2];

            else ans+=n*C[n/2-1][z/2]*C[(x+y-2)/2][(x-1)/2];

        }

        PR(ans/(2*n));

    }

    return 0;

}