证明：不同特征值对应的特征向量线性无关

证明

设${\lambda }_1,...,{\lambda }_k$ 为方针 $A^{n\times n}$的$k$ 个不同特征值，对应的特征向量分别为 $x_1,...,x_k$。

假设 $x_1,...,x_r(r<k)$ 线性无关（如果有必要交换特征向量顺序），而$x_1,...,x_r,x_{r+1}$ 线性相关，则存在不全为 $0$ 的 $c_1,...,c_{r+1}$ 使得：

$$c_1{x}_1+...+c_r{x}_r+c_{r+1}{x}_{r+1}=0\text{\hspace{1em}(1)}$$

且 $c_{r+1}$ 不为$0$，否则$x_1,...,x_r$ 线性相关。

对(1) 式左右两边同时乘以 $A$ 得

$$c_{1}A{x}_1+...+c_{r}A{x}_r+c_{r+1}A{x}_{r+1}=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

也即

$$c_1{\lambda }_1{x}_1+...+c_r{\lambda }_r{x}_r+c_{r+1}{\lambda }_{r+1}{x}_{r+1}=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

(1) 式乘以${\lambda }_{r+1}$ 与(3) 式子相减得

$$c_1({\lambda }_{r+1}-{\lambda }_1)x_1+...+c_r({\lambda }_{r+1}-{\lambda }_r)x_r=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

由于特征根不同，${\lambda }_{r+1}-{\lambda }_i(i=1,...,r)\ne 0$，故(4) 式表明特征向量 $x_1,..,x_r$ 线性相关，与假设矛盾。因此，$x_1,...,x_r,x_{r+1}$ 线性无关。

证毕

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分析

该证明利用反证法，有一定的技巧性，一是要把线性无关转化为方程只有零解的形式；二是要利用特征值、特征向量与原矩阵的关系。

此处证明不同特征值对应的特征向量线性无关，但是一个特征值对应的多个特征向量是否线性无关并没有证明。