一句话证明：费马大定理

大约1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
费马大定理：
方程 无正整数解

一，用勾股定理证明：

先证
若 则 但 是有理数，而 时 是无理数，正整数等式不可能成立，所以 时 是显然的.

当 时，任意 的自然数皆有正整数解满足 且

当 时：

因 不防设 则
则

举例：

当 时：

因 不防设 则
则

举例：






上面给出了任意大于等于 的自然数的勾股三元组(是无穷的),不用考虑多解.

当 时，任意 的自然数皆没有正整数解满足
因为：根据 且 为正整数即勾股三元组)；




令
因 且
由同余式的性质知 ,
那么 ,
那么 ;即 不整除 矛盾；
则 不可能是正整数(对任意 的正整数)；即假设 是正整数能推出 整除 的矛盾;
所以 时 ， 没有正整数解.
注 数学家们不能用初等方法证明它的原因是：他们只知道方程 的基本解是

但没有考虑到 或 既可以是奇数 (它也可以是偶数)也可以是偶数
也就是说对所有大于的自然数 都有正整数解. 但上面的基本解不能一下看出来.
用基本解也能证明它的. 不过没有 和 都有正整数解来到明白！
是没正整数解的,即对正整数 来说， 不是完全平方数. 这是因为

另种证明：

引理：若 是 的三条边 ， 当 且 时，则
证明：
可设
因为
则当 时 ，
所以

现在，只考虑 是正整数且大于2的情形：
因为，任意正整数 都能表为
任意正整数 都不能表为
没有正整数解( 显然没有正整数解).
注 这里有偷换概念之嫌，但代数学就是代数学，不管它了.
下面的证明才是妙的

二， 用二项式定理证明：

令 和 为变量， 为正整数，则

设
设 且 为正整数 ;

当 时，任意 的整数皆能表为

当 时， , 任意 的整数皆不能表为

因 为正整数，且 和 不可能表为整数的 n 次方（注意 n=2 时可能）；
即： 时， 没有正整数解.

上面过程也可这样理解

一句话证明：费马大定理

设 设 为正整数；

时，对任意的 (正整数), 不是正整数， 才是正整数；
是无理数，因 不是正整数的 次幂， 才是正整数的 次幂;
所以： 时， 没有正整数解。可以说一句话就能证明，也许费马的美妙的证法是这个.

特别的当 时有勾股定理成立
任意 的自然数皆有正整数解满足 且
当 时：
当 时：
因为 时勾股定理成立 （有正整数解）， 显然有正整数解，所以：
时，费马方程: 没有正整数解.

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附1，“n>2 时，对任意正整数 来说， 是无理数”的证明

《初等数论及其应用》（美）Kenneth H. Rosen著，该书中P87是这样说的：
定理：设 为多项式 的根，其中系数 是整数，则 或者是整数，或者是无理数
证明
假设 为有理数，则可以写为 其中 和 为互素整数且 .由于 是多项式 的根，故有

乘以 ，得

由于

故 假定 则 有素因子 因为 ，故但是 ,于是得到矛盾，这表明 .因此如果 为有理数，则 ，所以 一定是整数.

推论1：任意正整数的 次方根
推论2：若 不是正整数的 次幂，则 是无理数

这是因为 是 的根.因此，像 这样的数是无理数。

特别的有:
由二项式定理知， 时，对任意正整数 来说， 是无理数， 才是正整数。

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附2，费马大定理中隐藏的素数的秘密：

附3，欧拉猜想， 没有正整数解：

1769年，欧拉在发现了 这个式子后“推广了”费马大定理.(他从 有正整数解 无正整数解联想到 )
欧拉猜想：
没有正整数解;
没有正整数解;
没有正整数解;
1911年，英国数学家诺里耶发现了：

1966年，美国数学家兰德尔和帕金给出一个最小反例：

更大的反例也被数学家吉姆 弗尔耶找到：

1986年，哈佛大学数学家埃尔克斯发现了又一个反例：

1988年，美国数学家罗杰 弗尔耶用埃尔克斯的技巧又找到了有可能是最小的反例：

1997年，数学家麦克劳德找到已知的最大的反例之一：

还有不少这样的结果：

我发现了这样几个式子：






这个比较好












从这儿开始立方数好像消失了







利用勾股定理找






所以有：

附4， 的正整数解

上面的证明中当 时，设 设 为正整数；
式中 或 是显然的；但是
当 时，
式中 或 对任意的正整数 都有正整数解，且解唯一( 非平方数时). 我们只需看两个中的一个式子

解为，
解为，
解为，
解为，
解为，
解为， ，

无正整数解.
道理很简单， 不是完全平方数
而 二次剩余都有解.
无正整数解。但， 有唯一解，
事实上， 都有正整数解. 非完全平方数时解唯一.

好像是最小解

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也无正整数解！
因为： 时，设

当 时，

当 时，

待续中