NOIOLPJ2022B. 数学游戏 分析
数学游戏
题目描述
Kri 喜欢玩数字游戏。
一天，他在草稿纸上写下了 ttt 对正整数 (x,y)(x,y)(x,y)，并对于每一对正整数计算出了 z=x×y×gcd(x,y)z = x \times y \times \gcd(x,y)z=x×y×gcd(x,y)。
可是调皮的 Zay 找到了 Kri 的草稿纸，并把每一组的 yyy 都擦除了，还可能改动了一些 zzz。
现在 Kri 想请你帮忙还原每一组的 yyy，具体地，对于每一组中的 xxx 和 zzz ，你需要输出最小的正整数 yyy，使得 z=x×y×gcd(x,y)z=x \times y \times \gcd(x,y)z=x×y×gcd(x,y)。如果这样的 yyy 不存在，也就是 Zay 一定改动了 zzz，那么请输出 −1-1−1。
注： gcd(x,y)\gcd(x,y)gcd(x,y) 表示 xxx 和 yyy 的最大公约数，也就是最大的正整数 ddd，满足 ddd 既是 xxx 的约数，又是 yyy 的约数。
输入格式
第一行一个整数 ttt，表示有 ttt 对正整数 xxx 和 zzz。
接下来 ttt 行，每行两个正整数 xxx 和 zzz，含义见题目描述。
输出格式
对于每对数字输出一行，如果不存在满足条件的正整数 yyy，请输出 −1-1−1，否则输出满足条件的最小正整数 yyy。
样例 1 解释
x×y×gcd(x,y)=10×12×gcd(10,12)=240x \times y \times \gcd(x,y) = 10 \times 12 \times \gcd(10,12) = 240x×y×gcd(x,y)=10×12×gcd(10,12)=240。
附加样例
见样例目录下的 math3.in 和 math3.out ，以及 math4.in 和 math4.out。
数据范围
对于 20%20\%20% 的数据，t,x,z≤103t,x,z \le 10^3t,x,z≤103。
对于 40%40\%40% 的数据，t≤103,x≤106,z≤109t \le 10^3,x \le 10^6,z \le 10^9t≤103,x≤106,z≤109。
对于另 30%30\%30% 的数据，t≤104t \le 10^4t≤104。
对于另 20%20\%20% 的数据，x≤106x \le 10^6x≤106。
对于 100%100\%100% 的数据，1≤t≤5×105,1≤x≤109,1≤z<2631 \le t \le 5 \times 10^5,1 \le x \le 10^9,1 \le z < 2^{63}1≤t≤5×105,1≤x≤109,1≤z<263。
题意简述
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给定正整数 x,zx,zx,z，求满足 z=x×y×gcd(x,y)z=x\times y\times\gcd(x,y)z=x×y×gcd(x,y) 的最小正整数 yyy，若不存在，输出 −1-1−1。
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每个测试点有 ttt 次询问。
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1≤t≤5×1051\leq t\leq 5\times 10^51≤t≤5×105，1≤x≤1091\leq x\leq 10^91≤x≤109，1≤z≤2631\leq z\leq 2^{63}1≤z≤263
题目分析
方法一
设 x,y,zx,y,zx,y,z 中分别含有 x1,y1,z1x_1,y_1,z_1x1,y1,z1 个素因子 222，则 gcd(x,y)\gcd(x,y)gcd(x,y) 中含有 min(x1,y1)\min(x_1,y_1)min(x1,y1) 个素因子 222。
根据条件 z=x×y×gcd(x,y)z=x\times y\times\gcd(x,y)z=x×y×gcd(x,y) 得 z1=x1+y1+min(x1,y1)z_1=x_1+y_1+\min(x_1,y_1)z1=x1+y1+min(x1,y1)，接着根据 x1x_1x1 和 y1y_1y1 的大小关系进行分类讨论：
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x1>y1x_1>y_1x1>y1
此时 z1=x1+2y1z_1=x_1+2y_1z1=x1+2y1，且 x1>y1⇔3x1>z1x_1>y_1\Leftrightarrow 3x_1>z_1x1>y1⇔3x1>z1。注意 z1−x1z_1-x_1z1−x1 必须为偶数，否则 y1y_1y1 会出现小数的情况。 -
x1≤y1x_1\leq y_1x1≤y1
此时 z1=2x1+y1z_1=2x_1+y_1z1=2x1+y1，且 x1≤y1⇔3x1≤z1x_1\leq y_1\Leftrightarrow 3x_1\leq z_1x1≤y1⇔3x1≤z1。
综上，y1={z1−x12=z1−x12−z12,3x1>z1z1−2x1=z1−x12−3x12,3x1≤z1=z1−x12−min(3x1,z1)2y_1=\begin{cases} \dfrac{z_1-x_1}2=z_1-\dfrac{x_1}2-\dfrac{z_1}2,&3x_1>z_1\\ z_1-2x_1=z_1-\dfrac{x_1}2-\dfrac{3x_1}2,&3x_1\leq z_1 \end{cases}=z_1-\dfrac{x_1}2-\dfrac{\min(3x_1,z_1)}2y1=⎩ ⎨ ⎧2z1−x1=z1−2x1−2z1,z1−2x1=z1−2x1−23x1,3x1>z13x1≤z1=z1−2x1−2min(3x1,z1)。
同理，对于其他素因子，也满足上文所述。
再将这个等式转化成 x,y,zx,y,zx,y,z 的形式：
y=zx÷gcd(x3,z)=zx÷gcd(zx,x2)y=\dfrac z{\sqrt{x}}\div\sqrt{\gcd(x^3,z)}=\dfrac zx\div\sqrt{\gcd\left(\dfrac zx,x^2\right)} y=xz÷gcd(x3,z)=xz÷gcd(xz,x2)
方法二
令 g=gcd(x,y)g=\gcd(x,y)g=gcd(x,y)，得
z=xyg⇒zx=yg⇒zx=yg×g2z=xyg \Rightarrow\dfrac zx=yg \Rightarrow\dfrac zx=\dfrac yg\times g^2z=xyg⇒xz=yg⇒xz=gy×g2
根据最大公约数性质，我们有 gcd(xg,yg)=1\gcd\left(\dfrac xg,\dfrac yg\right)=1gcd(gx,gy)=1，可得
gcd(zx,x2)=gcd[yg×g2,(xg)2×g2]=g2⇒g=gcd(zx,x2)⇒y=zx÷gcd(zx,x2)\begin{aligned} &\gcd\left(\dfrac zx,x^2\right)=\gcd\left[\dfrac yg\times g^2,\left(\dfrac xg\right)^2\times g^2\right]=g^2\\ \Rightarrow&g=\sqrt{\gcd\left(\dfrac zx,x^2\right)} \Rightarrow y=\dfrac zx\div\sqrt{\gcd\left(\dfrac zx,x^2\right)}\end{aligned}⇒gcd(xz,x2)=gcd[gy×g2,(gx)2×g2]=g2g=gcd(xz,x2)⇒y=xz÷gcd(xz,x2)
根据上述两种方法，均可证明 y=zx÷gcd(zx,x2)y=\dfrac zx\div\sqrt{\gcd\left(\dfrac zx,x^2\right)}y=xz÷gcd(xz,x2)，故直接计算此式即可。
时间复杂度 Θ(tlogx2)\Theta(t\log x^2)Θ(tlogx2)。（注意计算 gcd\gcdgcd 的时间复杂度）