LeetCode371: 求两整数之和

题目：定义一个函数，在该函数中可以实现任意两个整数的加法。

知识准备：

虽然这道题的解法众多，但我主要想针对位运算做解释（以下的解释主要针对Java）。

在解题之前，首先要了解在Java里，一个整数（int）由32个bits组成（bit0-31）。Bit0如果为0，则此整数为正数。如果bit0为1，则此整数为负数。那么问题来了，如何用二进制表示-1？

1的二进制为00...01，其补码(~1)为11...10（也就是把1变成0，0变成1）。然后再把补码加1，即得到-1的二进制，也就是11...11。
同理，2的二进制为00...10，其补码(~2)为11...01。然后再把补码加1，即得到-2的二进制，也就是11...10。

在Java中，最大的正整数为01...11（bit0为0，bit1-31为1），用十六进制表示为0x7FFF FFFF，用十进制表示为2147483647。
如果把01...11加1则变成了10...00，用十六进制表示为0x8000 0000，用十进制表示为-2147483648。

解题思路：

现在回到这题，让我们假设有两个整数6和15，二进制分别表示为00...0110和00...1111。
如果我们对这两个二进制做异或运算(xor, ^)，可以得到：

  0110
  1111 xor
  ----
  1001

用res代表这个xor的结果。

如果我们对这两个二进制做与运算(and, &)，可以得到：

  0110
  1111 and
  ----
  0110

把与运算的结果左移一位(<<1)，则可以得到进位，也就是1100。用carry代表这个左移的and的结果。

重新开始异或运算，这次是在res和carry之间：

1001 ^ 1100 = 0101，重新赋值给res

重新开始与运算且把结果左移一位：

(1001 & 1100)  << 1 = 1000 << 1 = 10000，重新赋值给carry

重复做异res和carry的异或和与运算，直到carry变成0为止：

00101 ^ 10000 = 10101，重新赋值给res
(00101 & 10000) << 1 = 00000 << 1 = 00000，重新赋值给carry

至此，运算结束。我们可以看到res为10101，用十进制表示为21，是16和5的值。

这个逻辑同样可以运用到负数运算中。

不过，这道题其实并没有考虑到大数处理的问题。比如说如果求2147483647(INT_MAX)和2147483647的和，按照上述逻辑，最后的答案会是-2。是因为：

01...11
01...11 +
--------
11...10

用十进制表达也就是-2。

根据此逻辑，不难写出Java代码：

public int getSum(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int res = a^b;
        int carry = (a&b)<<1;
        a = res;
        b = carry;
    }
    return res;
}

如果用递归表达：

public int getSum(int a, int b) {
    // if (a == 0) return b;
    if (b == 0) return a;
    return getSum(a^b, (a&b) << 1);
}