Yalmip使用学习 配置cplex求解器 实例

yalmip学习

0. yalmip简介

0.1 什么是yalmip

yalmip是由Lofberg开发的一种免费的优化求解工具，其最大特色在于集成许多外部的最优化求解器，形成一种统一的建模求解语言，提供了Matlab的调用API，减少学习者学习成本。

1.介绍
 首先，yalmip是一个matlab的工具包，通过matlab实现各种操作和调用。

其次，它是一个建模工具，甚至可以称为一种“语言”，通过这种“语言”来描述模型，然后再调用其他求解器（如gurobi、cplex等）来求解模型。相当于一个将“yalmip语言”转换成其他求解器“语言”的语言转换器。

不同的求解器有不同的专用语言，学习多个语言即冗余又浪费精力，所以，yalmip的珍贵之处就体现出来了。

更为可贵的是，yalmip真正实现了建模和算法二者的分离，它提供了一种统一的、简单的建模语言，针对所有的规划问题，都可以用这种统一的方式建模；至于用哪种求解算法，你只需要通过一次简单的参数配置指定就可以了，甚至不用你指定，yalmip会自动为你选择最适合的算法。

有了yalmip，你不再需要针对每一种工具包去学习特定的建模语言（比如用cplex要专门学习cplex的建模语言，用lingo要专门学习lingo的建模语言，还有GLPK、lpsolve、Matlab自带的求解器等等，如果每一种求解器都要学习新的建模语言的话，这个工作量是可想而知的）。相反，如果你选择使用yalmip，那么你只需要学习yalmip一种建模语法，因为yalmip真正实现了建模和算法的分离，所有的问题都可以用统一的方法建模，如果需要使用不同的求解器，只需要一句简单的配置即可。因此，yalmip不仅仅是一个线性规划求解器，更强大的地方在于，它提供了一个统一的建模平台，支持现有的几乎所有的求解算法。有了yalmip，一切都变得简单起来。

以上摘自博客《yalmip + lpsolve + matlab 求解混合整数线性规划问题（MIP/MILP）》

0.2 yalmip安装方式

2.安装

这里以MATLAB的安装方式为例
官网下载https://yalmip.github.io/     download   即可 ，可得到YALMIP-master .zip
解压至matlab/toolbox
matlab中设置路径，注意：要将压缩包内的子文件夹都加入路径，选择“添加并包含子文件夹”来添加路径；
检查是否配置成功：matlab中调用yalmitest命令，查看所有支持的求解器已经他们的安装状态。

最后键入which sdpvar命令，显示sdpvar路径则安装成功

以下参考博文 https://www.jianshu.com/p/e1c45b3d8d8a

使用yalmip求解优化问题的步骤

1.yalmip求解优化问题的四部曲

1.1 创建决策变量

yalmip一共有三种方式创建决策变量，分别为:

1. sdpvar-创建实数型决策变量
2. intvar-创建整数型决策变量
3. binvar-创建0/1型决策变量

不过值得注意的是，在创建n*n的决策变量时，yalmip默认是对称方阵。

所以要创建非对称方针时，需要这样写：xxxvar(n,n,'full')

1.2 添加约束条件

比起matlab自带的各种优化函数所要写明的约束条件，yalmip的约束条件写起来是非常舒适直观的。符合人类直觉

比如要写入0<=x1+x2+x3<=1。

那么可以这样写:

% 创建决策变量
x = sdpvar(1,3);
% 添加约束条件
C = [0<=x(1)+x(2)+x(3)<=1];

1.3 参数配置

关于参数设置，我们大多数是用来设置求解器solver的，当然还有其它的选项，可以通过doc sdpsettings查看。

1.4 求解问题

最后就是求解问题了。

首先要明确求解目标z，yalmip默认是求解最小值问题，所以遇到求解最大值的问题，只需要在原问题的基础上添加一个负号即可。

求解调用格式：

求解调用格式：

optimize(target,constraints,opstions)

1.5 几个常用的其它指令

1. check：可以检查约束条件是否被满足（检查约束条件的余值）
2. value：可以查看变量或表达式的值
3. assign: 可以给变量赋值，这个命令调试时很重要

2.举两个小栗子

2.1 简单例子（求最小值）

clear;clc;close all
x = sdpvar(1,3);
z = 2*x(1) + 3*x(2) + x(3);
c = [x(1) + 4*x(2) + 2*x(3) >= 8
     3*x(1) + 2*x(2) >= 6
     x(1), x(2), x(3) > 0];

result = optimize(c,z);

if result.problem == 0     % 求解成功
   xresult = value(x)
   zresult = value(z)
else
    disp('求解出错')    
end

运行结果如下

CPXPARAM_MIP_Display                             1
Tried aggregator 1 time.
LP Presolve eliminated 3 rows and 0 columns.
Reduced LP has 2 rows, 3 columns, and 5 nonzeros.
Presolve time = 0.02 sec. (0.00 ticks)

Iteration log . . .
Iteration:     1   Dual objective     =             4.000000

xresult =

     2     0     3


zresult =

     7

当然该问题也可以直接用 matlab自带的linprog进行求解，代码如下

c = [2 3 1]
a = [1 4 2;
     3 2 0];
b = [8;6];
[x,z] = linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1)) 

结果如下，与上面的一致。

Optimal solution found.


x =

    2.0000
         0
    3.0000


z =

    7.0000

2.2  简单例子（求最大值）

% 清除工作区
clear;clc;close all;
% 创建决策变量
x = sdpvar(1,2);
% 添加约束条件
C = [
    x(1) + x(2)  >= 2
    x(2)-x(1) <=1
    x(1)<=1
    ];
% 配置
ops = sdpsettings('verbose',0,'solver','lpsolve');
% 目标函数
z = -(x(1)+2*x(2))/(2*x(1)+x(2)); % 注意这是求解最大值
% 求解
reuslt = optimize(C,z);
if reuslt.problem == 0 % problem =0 代表求解成功
    value(x)
    -value(z)   % 反转
else
    disp('求解出错');
end

 求解结果:

3. 1  配置cplex求解器  简单例子（求最大值）

%求解如下非线性规划问题


% 清除工作区
clear;clc;close all;
% 创建决策变量
x = sdpvar(1,2);
% 添加约束条件
C = [
    x(1) + x(2)  >= 2
    x(2)-x(1) <=1
    x(1)<=1
    ];
% 配置
ops = sdpsettings('verbose',0,'solver','cplex');
% 目标函数
z = -(x(1)+2*x(2))/(2*x(1)+x(2)); % 注意这是求解最大值
% 求解
reuslt = optimize(C,z);
if reuslt.problem == 0 % problem =0 代表求解成功
    value(x)
    -value(z)   % 反转
else
    disp('求解出错');
end

  求解结果:

3. 2  配置cplex求解器  简单例子（求最小值）

clear;clc;close all;
%定义变量
x=sdpvar(2,1);

%约束条件
constraint=[];
constraint=[constraint,x(1)+x(2)>350];
constraint=[constraint,x(1)>100];
constraint=[constraint,2*x(1)+x(2)<600];
constraint=[constraint,x(2)>0];
%求解
%ops = sdpsettings('solver','cplex','verbose',1);
% ops.cplex.display='on';
% ops.cplex.timelimit=600;
% ops.cplex.mip.tolerances.mipgap=0.001;



% 诊断求解可行性
% disp('开始求解')
% diagnostics=optimize(constraint,obj,ops);
% if diagnostics.problem==0
%     disp('Solver thinks it is feasible')
% elseif diagnostics.problem == 1
%     disp('Solver thinks it is infeasible')
%     pause();
% else
%     disp('Timeout, Display the current optimal solution')
% end


% 配置
ops = sdpsettings('solver','cplex');  %配置求解方法为调用 CPLEX


%目标函数
obj=2*x(1)+3*x(2);

% 求解
reuslt = optimize(constraint,obj,ops);  %Yalmip优化求解的命令
if reuslt.problem == 0 % problem =0 代表求解成功
    value(x)
    value(obj)
else
    disp('求解出错');
end

   求解结果:

YALMIP符号变量

在YALMIP中最重要的命令是sdpvar，用于定义决策变量。

1.1定义一个n行m列矩阵（或标量）的方法如下：

P = sdpvar(n,m);

1.2方阵默认为对称阵。若需要定义一个完全参数化（即不一定对称）的方阵，还需要输入第三个参数：

P = sdpvar(3,3,'full');

1.3如果在上述代码中省略句尾的分号，或直接在命令行输入“P”后回车，可以查看此矩阵的性质。结果如下所示：

Linear matrix variable 3x3 (full, real, 9 variables)

第三个参数也可以用于获得一系列预定义的变量，如Toeplitz、Hankel、对角、对称和斜对称矩阵等（更多细节请参考sdpvar）。当然，也可以用常规方法来定义向量，如下所示：

x = sdpvar(n,1);	% 向量
D = diag(x) ;    % 对角矩阵
H = hankel(x);   % Hankel矩阵
T = toeplitz(x); % Toeplitz矩阵

标量可以通过如下三种方法来定义：

x = sdpvar(1,1); y = sdpvar(1,1);
x = sdpvar(1); y = sdpvar(1);
sdpvar x y

  sdpvar对象在MATLAB中的使用方法和任何其他变量一样，大多数函数都是重载的。因此，以下命令是有效的：

P = sdpvar(3,3) + diag(sdpvar(3,1));
X = [P P;P eye(length(P))] + 2*trace(P);
Y = X + sum(sum(P*rand(length(P)))) + P(end,end)+hankel(X(:,1));

% eye()函数用于返回单位矩阵，如eye(n)将返回n*n单位矩阵
% trace()函数用于求矩阵的迹
% end函数返回下标的最大值

  在码代码时，如果对YALMIP不太熟悉，建议养成查看表达式和变量的习惯，看看它们的属性是否与期望相符。举个栗子，若定义正确，上文代码所得的X应该是一个6x6实对称矩阵。根据下文对X的查看结果可得，它确实是一个由9个变量构成的对称6x6矩阵。

>> X
Linear matrix variable 6x6 (symmetric, real, 9 variables)

  在某些情况下，可以使用多维变量来简化编码。YALMIP支持两种不同的构造：元胞数组和多维sdpvar对象。元胞数组格式只是以下代码的抽象化：

for i = 1:5
  X{i} = sdpvar(2,3);
end

  通过在sdpvar中设置向量维数，上文的元胞数组还可以用下述方法设置：

X = sdpvar([2 2 2 2 2],[3 3 3 3 3]);

  此元胞数组可以在MATLAB中正常使用。但这种定义方法的缺陷在于变量X不能直接用作标准的sdpvar对象（在MATLAB中，plus等运算符在单元格上不可重载）。因此，可以使用完全通用的多维sdpvar创建一个等价对象：

X = sdpvar(2,3,5);

  通过这种方法，我们可以用标准的MATLAB代码直接对这个对象进行操作：

Y = sum(X,3)
X(:,:,2)

  根据标准YALMIP语法，如果前两个维度相同，那么前两个面就是对称的。要创建完全参数化的高维变量，需要给定一个“full”标志：

X = sdpvar(2,2,2,2,'full');

  有关多维变量的示例请查看Sudoku example。

约束条件

  我们可以通过“创建+连接”的方式定义约束集合。约束的含义取决于上下文：如果左右两侧都是Hermitian矩阵，则约束将按照正定性进行解释，否则将逐元素进行解释。因此，定义一个对称矩阵和正定性约束的方法如下：

n = 3;
P = sdpvar(n,n);
C = [P>=0];

  定义具有正元素的对称矩阵示例如下：

P = sdpvar(n,n);
C = [P(:)>=0];

  注意，这样就两次定义了非对角约束。一个好的半定规划（Semi-definite Programming,SDP）求解器可能会在预处理过程中检测到这一点并简化模型，不过我们也可以使用常规方法来手动定义特殊元素，如下所示：

C = [triu(P)>=0];	% triu()函数用于抽取上三角矩阵

  或者：

C = [P(find(triu(ones(n))))>=0];

  根据上述规则，可以使用>=运算符定义具有正元素的非平方矩阵（即非对称矩阵），如下所示：

P = sdpvar(n,2*n);
C = [P>=0];

  同样的方法也可以用于定义具有正元素的完全参数化的矩阵：

P = sdpvar(n,n,'full');
C = [P>=0];

  一系列约束可以通过“添加”或“连接”来定义，如下所示：

P = sdpvar(n,n);
C = [P>=0] + [P(1,1)>=2];
C = [P>=0, P(1,1)>=2];

  定义约束时所涉及的表达式中可以包括任意sdpvar对象，等式约束（==）和不等式约束（<=）也都可以使用，如下所示：

C = [P>=0, P(1,1)<=2, sum(sum(P))==10

  在工作区双击约束，或在命令行输入约束名后回车，可以查看约束列表，并检查约束是否已有效定义了。正如前文关于查看表达式和变量的建议一样，推荐大家及时查看约束，以保证它们的属性与期望相符。查看上述约束所得结果示例如下：

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
|   ID|                    Constraint|
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
|   #1|         Matrix inequality 3x3|
|   #2|   Element-wise inequality 1x1|
|   #3|       Equality constraint 1x1|
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

  以下代码可以实现多个约束的同时定义：

F = [0 <= P(1,1) <= 2];

  严格不等式是不能使用的（将收到YALMIP发出的警告），因为数值求解器是使用数值公差进行优化的，故严格不等式在求解时没有任何意义。因此，如果我们需要设置严格上限，则必须设置一个边界。边界的选择很重要：若其太小，则没什么作用，因为它会淹没在求解器用来定义足够接近可行约束的常规公差中；若其太大，则可能会使可行空间大大缩小。

my_tolerance_for_strict = 1e-5;
F = [0 <= P(1,1) <= 2-my_tolerance_for_strict];

  for循环也能用于连接多个约束：

F = [0 <= P(1,1) <= 2];
for i = 2:n-1
 F = [F, P(i,1) <= P(2,i) - P(i,i)];
end

在定义了变量和约束之后，就可以进行各类优化问题的求解了。接下来我们将从线性规划开始，学习一系列普通规划问题及其MATLAB实现方法。