数学建模——存贮模型

 工厂定期订购原料，加工零件，商店批量采购，水库雨季蓄水，其中的贮存量问题都涉及到存贮模型。该模型分为两种：不允许缺货、允许缺货。

不允许缺货模型

该模型适用于一旦缺货就会造成巨大损失的情况。

经典问题分析

某厂生产部件，进行轮换生产，每次生产部件需要生产准备费（与生产数量无关），部件量大于需求量时需要付贮存费。要求生产能力远大于需求，不允许出现缺货。试安排生产计划，多少天生产一次，每次产量多少，使每天平均消费最少。

基本常识可得：生产周期越短，产量越少会使生产准备费越高，贮存费越小。

故构建存贮模型⬇️

模型假设

为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量：

1. 产品每天的需求量为常数r

2.每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2

3. 生产能力为无限大(相对于需求量)，当贮存量降到零时，Q 件产品立即生产（不允许缺货）

产品需求量	r
生产准备费	c1
每件产品贮存费	c2
生产周期	T
单次生产量	Q

模型建立

将贮存量表示为时间t的函数q(t),t=0时进行第一次生产,q(t)以r速率递减.建立坐标轴画出q(t)

不允许缺货模型的贮存量q(t) 

显然 Q=rT

一个周期内的贮存费用为:   

即图中三角形A的面积乘c2

得一个周期的总费用:

每天平均费用:

 C(T)即为优化模型的目标函数 min C(T)

模型求解 

由基本不等式 ,容易得到时,C(T)取最小值

带入可得:

 根据题目所给数据带入,即可求得最优解(最低的每日消费),和此时对应的生产周期T和单词生产量Q.

‘’此处不考虑生产单件产品的成本费用,因为这对于最优结果的Q和T,对于下面的允许缺货模型也是一样‘’

允许缺货的贮存模型

允许短时间缺货,会造成一定损失但损失费可以衡量

模型假设

前两条与不允许缺货模型假设相同,第三点改为:

允许缺货,每天每件产品缺货损失费为c3,缺货数量在下一次生产时补足

产品需求量	r
生产准备费	c1
每件产品贮存费	c2
生产周期	T
周期初始贮存量	Q
单日产品缺货损失费	c3
单次生产量	R

 

 同理建立q-t坐标图

容易得到Q=rT1

三角形A的面积代表贮存费用

三角形B的面积代表缺货的损失费用

故一个周期的总费用

 ​​​​​​​

每天平均费用C(T,Q),是一个二元函数:

 

用微分法求T,Q,使目标函数C(T,Q)最小 ,即令其对T,Q,偏导数都等于0

解得:

 再根据R=rT

令,对比不允许缺货模型,易得:

​​​​​​​

 此时若c3趋于无穷则lambda趋于1,则成为了不允许缺货模型