2023年高教社杯数学建模思路 - 案例：FPTree-频繁模式树算法

## 赛题思路

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算法介绍

FP-Tree算法全称是FrequentPattern Tree算法，就是频繁模式树算法，他与Apriori算法一样也是用来挖掘频繁项集的，不过不同的是，FP-Tree算法是Apriori算法的优化处理，他解决了Apriori算法在过程中会产生大量的候选集的问题，而FP-Tree算法则是发现频繁模式而不产生候选集。但是频繁模式挖掘出来后，产生关联规则的步骤还是和Apriori是一样的。

常见的挖掘频繁项集算法有两类，一类是Apriori算法，另一类是FP-growth。Apriori通过不断的构造候选集、筛选候选集挖掘出频繁项集，需要多次扫描原始数据，当原始数据较大时，磁盘I/O次数太多，效率比较低下。FPGrowth不同于Apriori的“试探”策略，算法只需扫描原始数据两遍，通过FP-tree数据结构对原始数据进行压缩，效率较高。

FP代表频繁模式（Frequent Pattern) ，算法主要分为两个步骤：FP-tree构建、挖掘频繁项集。

FP树表示法

FP树通过逐个读入事务，并把事务映射到FP树中的一条路径来构造。由于不同的事务可能会有若干个相同的项，因此它们的路径可能部分重叠。路径相互重叠越多，使用FP树结构获得的压缩效果越好；如果FP树足够小，能够存放在内存中，就可以直接从这个内存中的结构提取频繁项集，而不必重复地扫描存放在硬盘上的数据。

一颗FP树如下图所示：
　　
通常，FP树的大小比未压缩的数据小，因为数据的事务常常共享一些共同项，在最好的情况下，所有的事务都具有相同的项集，FP树只包含一条节点路径；当每个事务都具有唯一项集时，导致最坏情况发生，由于事务不包含任何共同项，FP树的大小实际上与原数据的大小一样。

FP树的根节点用φ表示，其余节点包括一个数据项和该数据项在本路径上的支持度；每条路径都是一条训练数据中满足最小支持度的数据项集；FP树还将所有相同项连接成链表，上图中用蓝色连线表示。

为了快速访问树中的相同项，还需要维护一个连接具有相同项的节点的指针列表（headTable），每个列表元素包括：数据项、该项的全局最小支持度、指向FP树中该项链表的表头的指针。
　　

构建FP树

现在有如下数据：

FP-growth算法需要对原始训练集扫描两遍以构建FP树。

第一次扫描，过滤掉所有不满足最小支持度的项；对于满足最小支持度的项，按照全局最小支持度排序，在此基础上，为了处理方便，也可以按照项的关键字再次排序。

第二次扫描，构造FP树。

参与扫描的是过滤后的数据，如果某个数据项是第一次遇到，则创建该节点，并在headTable中添加一个指向该节点的指针；否则按路径找到该项对应的节点，修改节点信息。具体过程如下所示：

　从上面可以看出，headTable并不是随着FPTree一起创建，而是在第一次扫描时就已经创建完毕，在创建FPTree时只需要将指针指向相应节点即可。从事务004开始，需要创建节点间的连接，使不同路径上的相同项连接成链表。

实现代码

def loadSimpDat():
    simpDat = [['r', 'z', 'h', 'j', 'p'],
               ['z', 'y', 'x', 'w', 'v', 'u', 't', 's'],
               ['z'],
               ['r', 'x', 'n', 'o', 's'],
               ['y', 'r', 'x', 'z', 'q', 't', 'p'],
               ['y', 'z', 'x', 'e', 'q', 's', 't', 'm']]
    return simpDat

def createInitSet(dataSet):
    retDict = {}
    for trans in dataSet:
        fset = frozenset(trans)
        retDict.setdefault(fset, 0)
        retDict[fset] += 1
    return retDict

class treeNode:
    def __init__(self, nameValue, numOccur, parentNode):
        self.name = nameValue
        self.count = numOccur
        self.nodeLink = None
        self.parent = parentNode
        self.children = {}

    def inc(self, numOccur):
        self.count += numOccur

    def disp(self, ind=1):
        print('   ' * ind, self.name, ' ', self.count)
        for child in self.children.values():
            child.disp(ind + 1)


def createTree(dataSet, minSup=1):
    headerTable = {}
    #此一次遍历数据集， 记录每个数据项的支持度
    for trans in dataSet:
        for item in trans:
            headerTable[item] = headerTable.get(item, 0) + 1

    #根据最小支持度过滤
    lessThanMinsup = list(filter(lambda k:headerTable[k] < minSup, headerTable.keys()))
    for k in lessThanMinsup: del(headerTable[k])

    freqItemSet = set(headerTable.keys())
    #如果所有数据都不满足最小支持度，返回None, None
    if len(freqItemSet) == 0:
        return None, None

    for k in headerTable:
        headerTable[k] = [headerTable[k], None]

    retTree = treeNode('φ', 1, None)
    #第二次遍历数据集，构建fp-tree
    for tranSet, count in dataSet.items():
        #根据最小支持度处理一条训练样本，key:样本中的一个样例，value:该样例的的全局支持度
        localD = {}
        for item in tranSet:
            if item in freqItemSet:
                localD[item] = headerTable[item][0]

        if len(localD) > 0:
            #根据全局频繁项对每个事务中的数据进行排序,等价于 order by p[1] desc, p[0] desc
            orderedItems = [v[0] for v in sorted(localD.items(), key=lambda p: (p[1],p[0]), reverse=True)]
            updateTree(orderedItems, retTree, headerTable, count)
    return retTree, headerTable


def updateTree(items, inTree, headerTable, count):
    if items[0] in inTree.children:  # check if orderedItems[0] in retTree.children
        inTree.children[items[0]].inc(count)  # incrament count
    else:  # add items[0] to inTree.children
        inTree.children[items[0]] = treeNode(items[0], count, inTree)
        if headerTable[items[0]][1] == None:  # update header table
            headerTable[items[0]][1] = inTree.children[items[0]]
        else:
            updateHeader(headerTable[items[0]][1], inTree.children[items[0]])

    if len(items) > 1:  # call updateTree() with remaining ordered items
        updateTree(items[1:], inTree.children[items[0]], headerTable, count)


def updateHeader(nodeToTest, targetNode):  # this version does not use recursion
    while (nodeToTest.nodeLink != None):  # Do not use recursion to traverse a linked list!
        nodeToTest = nodeToTest.nodeLink
    nodeToTest.nodeLink = targetNode

simpDat = loadSimpDat()
dictDat = createInitSet(simpDat)
myFPTree,myheader = createTree(dictDat, 3)
myFPTree.disp()

上面的代码在第一次扫描后并没有将每条训练数据过滤后的项排序，而是将排序放在了第二次扫描时，这可以简化代码的复杂度。

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