差分（一维+二维）

类似于数学中的求导和积分，差分可以看成前缀和的逆运算。

前缀和我们是求原数组的前缀和，这里是把原数组当成前缀和，构造一个差分数组来运算

以一维为例，如原数组为a[1],a[2],a[3]...a[n]

前缀和的思想是构造st[1]=a[1],st[2]=a[1]+a[2],st[3]=a[1]+a[2]+a[3],...,st[n]=a[1]+a[2]+...+a[n]

而差分则是构造a[1]=b[1],a[2]=b[1]+b[2],a[3]=b[1]+b[2]+b[3],...,a[n]=b[1]+b[2]+...+b[n]

这样的好处是啥呢，后面以一维和二维的题来展示

1.一维差分

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

 一开始写这道题时，最容易想到的就是循环一遍把每一个位置加上该数，但是后面发现时间复杂度太大O(n)数据过不了，如果运用差分我们就可以做到O(1)的复杂度，即在差分数组中通过使某几个点加入该数，使得原数组大面积随之变化，优化时间

这里有一篇带图文章写的非常好，链接放这不懂得可以看看AcWing 797. 差分 【c++详细题解】 - AcWing

代码实现： 

#include
using namespace std;
const int N=100010;
int arr[N],st[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&arr[i]),st[i]=arr[i]-arr[i-1];
    
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        st[l]+=c,st[r+1]-=c;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        arr[i]=arr[i-1]+st[i];
        printf("%d ",arr[i]);
    }
    return 0;
}

 2.二维差分

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 cc。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

 二维差分的主要思维就是如何运用差分数组通过O(1)的时间复杂度来使原数组某个矩阵所有元素加一，正常如果靠循环就是O(n*n)的复杂度，如何用O(1)的复杂度实现呢？

这里给出图片

通过这样一个数组的运算就可以使给定矩阵范围内每一个数加c，且时间复杂度为O(1),如果仍然不懂这里提供更详细解释的链接（AcWing 798. 差分矩阵 【 c++详细题解 】 - AcWing），这里就直接给代码了 

代码实现：

#include
using namespace std;
const int N=1010;
int arr[N][N],b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)//设置插入函数来构造差分数组
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}

int main()
{
    int n,m,q;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++) cin>>arr[i][j],insert(i,j,i,j,arr[i][j]);//构建差分数组
        
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];//把差分函数通过前缀和运算得到加完后的数组
            printf("%d ",b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}