DP_面试题_14-1_剪绳子(dp_贪心)

题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

• 2 <= n <= 58

解法：DP

这道题给定一个大于 11 的正整数 n*，要求将 n* 拆分成至少两个正整数的和，并使这些正整数的乘积最大化，返回最大乘积。

因为是子问题拆分且求最大值，所以动态规划是最容易想到的方法。

• 我们想要求长度为n的绳子剪掉后的最大乘积，可以从前面比n小的绳子转移而来
• 用一个dp数组记录从0到n长度的绳子剪掉后的最大乘积，也就是dp[i]表示长度为i的绳子剪成m段后的最大乘积，初始化dp[2] = 1
• 我们先把绳子剪掉第一段（长度为j），如果只剪掉长度为1，对最后的乘积无任何增益，所以从长度为2开始剪
• 剪了第一段后，剩下(i - j)长度可以剪也可以不剪。如果不剪的话长度乘积即为j * (i - j)；如果剪的话长度乘积即为j * dp[i - j]。取两者最大值max(j * (i - j), j * dp[i - j])
• 第一段长度j可以取的区间为[2,i)，对所有j不同的情况取最大值，因此最终dp[i]的转移方程为
  dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
• 最后返回dp[n]即可

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[2] = 1
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(2, i):
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
        return dp[n]

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3){
            return n - 1;
        }
        vector dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i / 2; j++){
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

解法：贪心

尽可能把绳子分成长度为3的小段，这样乘积最大

证明请参考：K神

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3){
            return n - 1;
        }
        int a = n / 3, b = n % 3;
        if(b == 0){
            return (int)pow(3, a);
        }else if(b == 1){
            return (int)pow(3, a - 1) * 4;
        }else{
            return (int)pow(3, a) * 2;
        }
    }
};

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n <= 3: return n - 1
        a, b = n // 3, n % 3
        if b == 0: return int(math.pow(3, a))
        if b == 1: return int(math.pow(3, a - 1) * 4)
        return int(math.pow(3, a) * 2)