26.并查集

一、简介

并查集是一种用于管理元素所属集合的数据结构，实现为一个森林，其中每棵树表示一个集合，树中的节点表示对应集合中的元素。

顾名思义，并查集支持两种操作：

• 合并（Merge）：合并两个元素所属集合（合并对应的树）
• 查询（Find）：查询某个元素所属集合（查询对应的树的根节点），这可以用于判断两个元素是否属于同一集合

并查集在经过修改后可以支持单个元素的删除、移动；使用动态开点线段树还可以实现可持久化并查集。并查集的使用范围非常广泛，将作为栈和队列这样的基础数据结构在很多题目当中结合应用。而如$Kruskal$算法等也需要借助并查集来实现。

二、基本运用

1.初始化

初始时，每个元素都位于一个单独的集合，表示为一棵只有根结点的树。方便起见，我们将根节点的父亲设为自己。

for(ll i=1;i<=n;i++)
	fa[i]=i;

2.查询与路径压缩

为了确认两个元素是否属于同一集合，我们需要判定他们是否拥有同一个祖先。判断是否拥有同一个祖先是一个经典的问题，我们称之为最近公共祖先问题（LCA），我们在后续会专门讲解此问题。

在并查集这里我们并不需要这么复杂的方式。我们可以简化地判断他们是否拥有一个公共的根结点即可。沿着树向上移动，直至找到根结点。

对于层数较大的树而言，要找到根结点花费的时间将比较长。因为一个结点的从属情况到最后实际上只与根结点有关，所以我们可以采用路径压缩的方式，将结点直接连到根结点以加快后续查询。这个过程可以整合到查询当中。

ll get(ll x)
{
	if(x!=fa[x])
		return fa[x]=get(fa[x]);
	return fa[x];
}

3.合并

当需要合并两棵树时，我们只需要将一棵树的根节点连到另一棵树的根节点。

void merge(ll x,ll y)
{
	ll fx=get(x),fy=get(y);
	fa[fx]=fy;
}

在合并的时候还有一种优化方式，称之为启发式合并。因为哪棵树的根节点作为新树的根节点会影响未来操作的复杂度。我们可以将节点较少或深度较小的树连到另一棵，以免发生退化。

同时采用路径压缩和启发式合并对并查集进行优化的话，每次查询的均摊时间复杂度为$O(\alpha (N))$，$\alpha (N)$为反阿克曼函数，$\forall N\le 2^{2^{10^{19729}}},\alpha (N)<5$。若只采用一种，则均摊时间复杂度为$O(logN)$

三、带权并查集

1.简介

如果树边不只是表示两者同属一个集合的关系，还涉及到边权的问题，那么这样的并查集就变成了带权并查集，查询与合并时需要进行的操作都有很多的不同。

2.例题：P1196

（1）题目大意

有一个划分为$N$列的战场，每列依次编号为 $1,2,\dots ,N$。有$N$艘战舰，序号依次为 $1,2,\dots ,N$，让第 $i$ 号战舰处于第 $i$ 列。现有$M$条指令，指令有两种格式：

1. M i j：$i$ 和 $j$ 是两个整数（$1\le i,j\le 30000$），表示指令涉及的战舰编号。表示让第 $i$ 号战舰所在列的全部战舰保持原有序列，接在第 $j$ 号战舰所在列的尾部。

2. C i j：$i$ 和 $j$ 是两个整数（$1\le i,j\le 30000$），表示指令涉及的战舰编号。表示查询第 $i$ 号战舰和第 $j$ 号战舰是否在同一序列，如果在则需要求出他们之间间隔了多少战舰。

数据范围：$N\le 30000,M\le 5\times 10^5$

（2）题目分析

• 此处涉及到判断是否在同意序列以及合并序列的问题，所以很容易想到并查集来求解
• 唯一的问题是，我们需要求出两个战舰之间隔了多少战舰
• 如果我们直接进行路径压缩，所有直接与根相连，则无法得出答案
• 如果不进行路径压缩，则将边权设置为 $1$，两者的距离之差减 $1$ 就是答案了，但这不满足时间复杂的要求
• 所以，我们在考虑路径压缩的情况下，新建一个数组 $dist$，$dist[x]$ 表示战舰 $x$ 与 $fa[x]$ 之间的边权，也就是之间的战舰数量
• 如此一来，我们需要对合并与查询的代码做相应的修改

ll get(ll x)
{
    if(x==fa[x])
        return fa[x];
    ll y=fa[x];
    fa[x]=get(y);
    dist[x]+=dist[y];
    return fa[x];
}
void merge(ll a,ll b)
{
    a=get(a);b=get(b);
    if(a!=b)
    {
        fa[a]=b;
        dist[a]=size[b];
        size[b]+=size[a];
    }
}

四、作业

P3367 【模板】并查集

P2814 家谱

P2661 [NOIP2015 提高组] 信息传递

P1661 扩散

P1196 [NOI2002] 银河英雄传说