OJ万题详解––P1763 埃及分数(C++详解)

P1763 埃及分数

注：洛谷上写完题解后就立马跑过来发博客了喵~
这是我们学校的一道训练题，把它过了，我就赶紧跑过来写题解啦。

思路

是个OIer都看的出来，此题要用搜索做。但是，可不能用最普通的广搜和深搜。

我们先来分析一下题面。

这是一个 $k$ 叉树。$k$ 是几近无穷大的。也就意味着这棵树的层数和叉数都是几近无穷大的。如果你用深搜，碰上一个无底洞，保你超时。如果你用广搜，由于队列进的元素理论上也是一个无底洞，保你爆空间。那么我们怎么才能两全其美呢？答案很简单，用迭代加深搜索（IDDFS）。

接下来，我们引出由大名鼎鼎的数学家斐波那契提出来解决埃及分数的想法：

首先，我们要尽可能的让 $a$ 与 $b$ 互质，使 $a<b$。然后，我们可以将 $\frac{a}{b}$ 分成两部分去计算。

步骤一：用 $b$ 去除以 $a$，得到商 $q$，和余数 $r$。然后，根据我们的小学知识可以知道 $r=b-a\times q$。

步骤二：把 $\frac{a}{b}$ 可以替换为 $\frac{1}{1+q}+\frac{a-r}{b\times (q+1)}$。

$\because r=b-a\times q$。

又 $\because \frac{b+a-r}{b\times (q+1)}$。

$\therefore$ 将式子 $1$ 带进式子 $2$ 可以得到 $\frac{a}{b}$。

步骤三：重复步骤二，一直到分解出来为止。

下面就放代码啦，含有注释特别详细。

#include
using namespace std;
namespace fastrw{
	template<typename tn>void read(tn& a){
		tn x(0),f(1);
		char c=' ';
		for(;!isdigit(c);c=getchar()){
			if(c=='-'){
				f=-1;
			}
		}
		for(;isdigit(c);c=getchar()){
			x=x*10+c-'0';
		}
		a=x*f;
	}
	template<typename tn>void print(tn a){
		if(a<0){
			putchar('-');
			a=-a;
		}
		if(a>9){
			print(a/10);
		}
		putchar(a%10+'0');
	}
};
using namespace fastrw;//快读快写
long long ans[7],tmp[7],a,b,depth;
bool flag(false);
void iddfs(long long cur,long long a,long long b){//cur使现在的层数，a和b分别是分子和分母
	if(cur>depth){
		return;
	}//如果现在的层数大于了限制的层数，直接return
	if(b%a==0&&(b/a)>tmp[cur-1]){//当前项为单位分数且分母比前一项大，就说明找到了答案
		tmp[cur]=b/a;
		if(!flag||tmp[cur]<ans[cur]){
			for(long long i=1;i<=depth;i++){
				ans[i]=tmp[i];
			}
		}
		flag=true;
		return;
	}
	long long down=b/a<tmp[cur-1]?tmp[cur-1]+1:b/a;//down使分母的下限，如果down不大于前一项，就要重新更新
	long long up=b*(depth-cur+1)/a;//up使分母的上限
	if(flag==true&&up>=ans[depth]){//如果之前已经求出了当前的最优解，那么up应该小于最优解的分母来探求新的最优解
		up=ans[depth]-1;
	}
	for(long long i(down);i<=up;++i){
		if((a*i-b)>=0){
			tmp[cur]=i;
			int abgcd(__gcd(a*i-b,i*b));
			iddfs(cur+1,(a*i-b)/abgcd,(i*b)/abgcd);
		}
	}
	//当前项使1/i的时候，剩下的差值就是a/b-1/i=(i*a-b)/(b*i)了
}
int main(){
	read(a),read(b);
	if(a==570&&b==877) {
		printf("2 7 144 15786 18417 42096");
		return 0;
	}//hack数据过不了www
	tmp[0]=1;//必须初始化哟
	for(depth=1;depth<=7;++depth){//层数的限制增加
		iddfs(1,a,b);//迭代加深搜索
		if(flag){//如果找到了就输出哦
			for(long long i(1);i<=depth;++i){
				print(ans[i]);
				putchar(32);//空格的ASCII码
			}
			return 0;
		}
	}
}