多普勒效应及多普勒频移的简单推导

多普勒效应及多普勒频移的简单推导

$$f_d\equiv f_R-f_T\text{\hspace{1em}(1)}$$
  式中，$f_d$表示多普勒频移，$f_R$表示目标回波的频率（Hz),$f_T$表示发射信号的频率（Hz）。
多普勒频移的表达式为：
$$f_d=\frac{2v}{\lambda }\text{\hspace{1em}(2)}$$
  式中，$\lambda$为信号波长(m)，v为雷达与目标间的相对径向速度(m/s)。这是一个近似的表达式，适用于目标相对于雷达的径向速度远小于电磁波传播速度的情况。实际情况往往如此，因此通常用(2)式来计算目标的径向速度。
  多普勒效应是由奥地利数学家多普勒首先发现和提出的，它反映了信号频率与运动速度之间的关系。值得注意的是这里的速度指相对的径向速度，即运动速度沿二者直线方向的分量。
  下面对多普勒频移的表达式(2)作一个简单的推导。
  雷达发射一段正弦波，起始点为A,终止点为B,在空间延伸的长度为D,频率为$f_0$.目标以径向速度$v_r$向着雷达飞行（远离雷达飞行时速度为负数，原理相同）,如图所示：

  由于目标向雷达运动，B点接触目标后，到A点接触目标，所需的时间$\Delta t$为：
$$\Delta t=\frac{D}{c+v_r}(s)\text{\hspace{1em}(3)}$$
  当A点接触目标时，B点相对于目标的距离就是反射后正弦波的长度$D^{\prime }$，其计算式为：
$$D^{\prime }=(c-v_r)\cdot \Delta t=\frac{c-v_r}{c+v_r}D\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中$c-v_r$表示$B$点反射后电磁波相对目标的速度。
  反射后的正弦波长度小于反射前的长度，但波的个数是不变的，设反射后的频率为$f_0^{\prime }$，则有：
$$\frac{f_0^{\prime }}{f_0}=\frac{D}{D^{\prime }}=\frac{c+v_r}{c-v_r}=1+\frac{2v_r}{c-v_r}\approx 1+\frac{2v_r}{c}\text{\hspace{1em}(5)}$$
上式成立的条件是电磁波传播速度远大于目标运动速度，实际情况中通常如此，则多普勒频移$f_d$为：
$$f_d=f_0^{\prime }-f_0=f_0\cdot \frac{2v_r}{c}=\frac{2v_r}{\lambda }\text{\hspace{1em}(6)}$$