数学建模 因子分析

目录

简介

数学模型

利用SPSS进行因子分析

步骤

对分析结果解读

 KMO和巴特利检验

公因子方差

 总方差解释

成分矩阵及旋转后的成分矩阵

旋转后的因子载荷散点图

成分得分系数矩阵

---

简介

因子分析和主成分分析法是一种对数据进行降维处理的方法，但主成分分析法的弊端在于其通过计算出相关系数矩阵的特征值，进而提取出来的主成分变量通常难以被解释。而因子分析方法则解决了这一问题，其构造出的因子具有明确的物理意义

因子分析是主成分分析的一种推广

数学模型

对于p个指标，n个观测值，应用因子分析有

记为矩阵的形式有

f称为公因子向量，ε称为特殊银子向量，A称为因子载荷矩阵且rank(A)=m

并且假设

利用SPSS进行因子分析

步骤

 

 

 从分析结果的碎石图中确定因子分析最佳的个数

 

 限定因子个数为2进行因子分析

对分析结果解读

 KMO和巴特利检验

KMO越接近于1表明原有变量越适合做因子分析。一般建议KMO需要大于0.8

巴特利球形检验的原假设H0：指标的相关系数矩阵是一个单位阵。而p值即表格中的检验值如果小于0.05则表明相关系数矩阵显著不为一个单位阵，即变量之间存在一定的相关性，可以进行因子分析做降维处理。

公因子方差

又称为共性方差，反映了提取出来的公因子能够反应原始变量数据的数据量。

在本例中，提取出的两个公因子能够解释100m变量中95%的信息

因子旋转前后，公因子方差不变

 总方差解释

在SPSS中，总方差解释，表明每一个公共因子对原来的变量信息的解释度。

由总方差解释表可知，两个因子对原始变量的解释度高达93.747%，已经包含了原始变量的绝大多数信息。进一步说明在该因子分析的实例中，提取两个因子是比较合适的。

总方差解释可类比主成分分析中的贡献率和累计贡献率

成分矩阵及旋转后的成分矩阵

 成分矩阵，即因子载荷矩阵，即数学模型中的矩阵A。

旋转后的成分矩阵即经过旋转过后的因子载荷矩阵。

因子载荷矩阵中的每一个元素是原始变量与公共因子的相关系数，若载荷值越大，表明该变量与该公因子关系密切，即该公因子能够代表该变量。

由本例中的分析结果可知，公共因子1的载荷值均较大，表明公共因子1与原始变量具有较大的相关系数，可以解释为因子1为综合运动水平。但难以从公共因子2的载荷值对其做出合理的物理解释。

观察旋转后的成分矩阵，公共因子1在最下面5个原始变量的载荷值较大，可以理解为该公共因子是耐力因子；公共因子2在最前面3个原始变量的载荷值交大，可以理解为该公共因子是爆发因子。

通常都从旋转后的成分矩阵的载荷值对公共因子做出解释

若成分矩阵和旋转后的成分矩阵的载荷值都难以解释，则考虑更改公共因子的提取方法，公共因子的旋转方法。

旋转后的因子载荷散点图

 

以旋转后的因子载荷矩阵的每一列作为x，y坐标，画出原始坐标的散点图，可以较为直观的看出原始指标降维结果，也可以理解为指标聚类。

成分得分系数矩阵

由数学模型中对矩阵形式的因子模型进行反推可以得到

与主成分分析中的主成分得分类似，该因子得分也可以用于系统聚类，由于对数据指标进行了降维，故可以对聚类的结果进行可视化。