圆极点和极线的性质

摘自 《高中数学竞赛解题策略·几何分册》圆中的极点极线, 全文插图请见 链接

引理1. $ABCD$ 是 $⨀O$ 的内接四边形, $AB$ 与 $CD$ 交于 $P$, $BC$ 与 $AD$ 交于 $Q$, 设 $ABCD$ 对角线交点为 $E$. 求证: $P$ 关于 $⨀O$ 的极线过 $E$ 和 $Q$, $Q$ 关于 $⨀O$ 的极线过 $E$ 和 $P$; $PQ$ 为 $E$ 的极线; $E$ 是 $△OPQ$ 的垂心.

证明:
(1) 设 $Q$ 对应的两个切点为 $Q_1,Q_2$, 证明 $Q_1,Q_2$ 经过 $E$. 分别设 $AD$, $BC$ 分别与 $Q_1,Q_2$ 交于 $E_1,E_2$, $Q_1{E}_1/Q_2{E}_1=S_{△Q_{1}AD}/S_{△Q_{2}AD}=Q_{1}A\cdot Q_{1}D/(Q_{2}A\cdot Q_{2}D)$, 同理, $Q_1{E}_2/Q_2{E}_2=Q_{1}B\cdot Q_{1}C/(Q_{2}B\cdot Q_{2}C)$. 由相似得, $Q_{1}C/Q_{1}Q=Q_{1}A/QA$, $Q_{1}D/Q_{1}Q=Q_{1}B/BQ$, $Q_{2}C/Q_{2}Q=Q_{2}A/QA$, $Q_{2}D/Q_{2}Q=Q_{2}B/BQ$. 显然 $Q_{1}Q=Q_{2}Q$, 因此 $Q_{1}D/Q_{2}C=\frac{Q_{1}B\cdot QA}{BQ\cdot Q_{1}A}$, $Q_{2}C/Q_{2}D=\frac{Q_{2}A\cdot BQ}{QA\cdot Q_{2}B}$
$$\begin{gathered} (Q_1{E}_1/Q_2{E}_1)/(Q_1{E}_2/Q_2{E}_2)=\frac{(Q_{1}A\cdot Q_{1}D)(Q_{2}B\cdot Q_{2}C)}{(Q_{2}A\cdot Q_{2}D)(Q_{1}B\cdot Q_{1}C)} \\ =\frac{Q_{1}B\cdot QA}{BQ\cdot Q_{1}A}\frac{Q_{2}A\cdot BQ}{QA\cdot Q_{2}B}\frac{Q_{1}A\cdot Q_{2}B}{Q_{2}A\cdot Q_{1}B}=1 \end{gathered}$$
证毕. 同理可证: 设 $P$ 对应的两个切点为 $P_1,P_2$, 证明 $P_1,P_2$ 经过 $E$.

(2) 由 (1) 得, $P$, $Q$ 在 $E$ 的极线上, 因此 $PQ$ 是 $E$ 的极线, $OE\perp PQ$.

(3) 证明 $PE\perp OQ$: 由定差幂线定理可知, 即证: $P{O}^2-P{Q}^2=E{O}^2-E{Q}^2$. 延长 $OE$ 交 $PQ$ 于 $O^{\prime }$, 由定差幂线定理可知 $E{O}^2-E{Q}^2=O{Q}_1^2-Q{Q}_1^2=r^2-QC\cdot QA$($r$为$⨀O$的半径), 由密克尔点的性质可知, $O^{\prime }$ 是完全四边形 $BAPCQD$ 的密克尔点, 因此 $ACP{O}^{\prime }$ 共圆, $DCQ{O}^{\prime }$ 共圆, 因此 $QC\cdot QA=Q{O}^{\prime }\cdot Q$. $P{O}^2-P{Q}^2=P{O}^{\prime }\cdot PQ$. $P{O}^2-P{Q}^2-(E{O}^2-E{Q}^2)=P{O}^{\prime }\cdot PQ+Q{O}^{\prime }\cdot PQ-P{Q}^2=0$. 同理可证, $QE\perp OP$, 显然可得 $E$ 为 $△OPQ$ 的垂心.

(4) 由 $PE\perp OQ$, $EQ\perp OP$, 显然, $P$ 在 $Q_1{Q}_2$ 上, $Q$ 在 $P_1{P}_2$ 上.

综上, 原命题得证.

由上述证明过程还可以得到一个推论:
推论. $P{Q}^2$ 等于点 $P$, $Q$ 的圆幂之和.

性质1. 对于 $⨀O$, 若点 $B$ 在点 $A$ 的极线上, 则点 $A$ 在点 $B$ 的极线上.

证明: 过点 $A$ 作 $OB$ 的垂线交 $OB$ 于 $B^{\prime }$, $OA$ 交 $A$ 点的极线于点 $A^{\prime }$, 显然, $A,A^{\prime },B,B^{\prime }$ 四点共圆, 因此 $OA\cdot O{A}^{\prime }=O{B}^{\prime }\cdot OB=r^2$ ( $r$ 为 $⨀O$ 半径 ), 证毕.

此时称 $A$, $B$ 关于 $⨀O$ 共轭.

推论: 若 $P$, $Q$ 两点的极线交于点 $A$, 则 $A$ 的极线是 $PQ$.

性质2. $A$, $B$ 关于 $⨀O$ 共轭的充要条件是以 $AB$ 为直径的圆与 $⨀O$ 正交.

证明: 如图, $O{O}^{\prime 2}-A{O}^{\prime 2}=OA\cdot O{A}^{\prime }=r^2$, ( $r$ 为 $⨀O$ 半径), 证毕.

性质3. 设 $P$, $Q$ 调和分割 $AB$, $⨀O$ 是过 $P$, $Q$ 两点的任意圆, 则 $A$, $B$ 关于 $⨀O$ 共轭.

证明: 由性质2, 即证以圆心的圆与 $⨀O$ 正交, 即证 $O{M}^2-O{P}^2=(\frac{1}{2}AB{)}^2$, $O{M}^2-O{P}^2=MP\cdot MQ$, 由调和分割的性质可知, $MP\cdot MQ=(\frac{1}{2}AB{)}^2$, 证毕.

性质4. 从 $P$ (异于圆心) 引一条直线与 $⨀O$ 交于 $A$, $B$ 两点, 与 $P$ 关于 $⨀O$ 的极线交于点 $Q$, 则 $P$, $Q$ 调和分割 $AB$.

证明: (1) 点 $P$ 在圆外时
$\frac{QA}{QM}=\frac{AN}{BM}$, $\frac{QB}{QN}=\frac{BM}{AN}$, 相除, 得
$$\frac{QA}{QB}\frac{QN}{QM}=\frac{A{N}^2}{B{M}^2}$$
$\frac{BM}{AM}=\frac{PM}{AP}$, $\frac{AN}{BN}=\frac{AP}{PN}$, 得
代入得:
$$\frac{QA}{QB}\frac{QN}{QM}=\frac{B{N}^{2}A{P}^4}{P{M}^{2}P{N}^{2}A{M}^2}$$
由 $P{M}^2=P{N}^2=PA\cdot PB$, $PA\cdot PB=P{M}^2$, 得
$$\frac{QA}{QB}\frac{QN}{QM}=\frac{A{P}^2}{B{P}^2}\frac{B{N}^2}{A{M}^2}$$
其中由$△BQN\sim △MQA$ 得 $\frac{B{N}^2}{A{M}^2}=\frac{QN}{QA}\frac{QB}{QM}$
进而得到 $\frac{Q{A}^2}{Q{B}^2}=\frac{A{P}^2}{B{P}^2}$, 证毕.
(2) 点 $P$ 在圆内时
如图, 显然, $P$ 在 $P^{\prime }$ 的极线上, 由 (1) 的结论可以立刻得出 $\frac{QA}{QB}=\frac{AP}{BP}$, 证毕.

性质5. 从 $P$ (异于圆心) 引一条直线与 $⨀O$ 交于 $A$, $B$ 两点, 再引一条直线与 $⨀O$ 交于 $C$, $D$ 两点, $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $Q$, $AD$ 和 $BC$ 相交于点 $R$, 则 $Q$, $R$ 都在点 $P$ 关于 $⨀O$ 的极线上.

证明: (1) 点 $P$ 在圆外时
由引理1可立刻得出.
(2) 点 $P$ 在圆内时
如图, 显然, $P$ 在 $P^{\prime }$ 的极线上, 由 (1) 的结论可以立刻得出 $\frac{QA}{QB}=\frac{AP}{BP}$, 证毕.

定义. 如果一个三角形的顶点是令一个三角形三边所在直线关于同一个圆的极点, 则称两个三角形共轭. 如果一个三角形每个定点都是对边所在直线关于同一个圆的极点, 则称该三角形是自共轭三角形 (或极点三角形).

性质6. 设 $A$, $B$, $C$, $D$ 是同一个圆上的四个点, 若直线 $AB$, $CD$ 相交于点 $P$, 直线 $BC$, $AD$ 相交于点 $Q$, 对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $R$, 则 $△PQR$ 是一个自共轭三角形.
证明: 由引理1可立刻得出.

性质7 (极点公式). 凸四边形 $ABCD$ 内接于 $⨀O$, 延长 $AB$ 和 $DC$ 相交于点 $P$, 延长 $BC$ 和 $AD$ 相交于点 $Q$, 对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $R$, 设 $⨀O$ 的半径为 $R$, 则
$$\begin{gathered} (1)R{P}^2=O{R}^2+O{P}^2-2R^2 \\ (2)R{Q}^2=O{R}^2+O{Q}^2-2R^2 \\ (3)P{Q}^2=O{P}^2+O{Q}^2-2R^2 \end{gathered}$$
证明: 先证明 (1) 如图, 由引理1可得
$P{R}^2=P{O}^{\prime 2}+R{O}^{\prime 2}$, $R^2=OR\cdot O{O}^{\prime }$, $2R^2+R{P}^2-O{R}^2=OR\cdot O{O}^{\prime }+OR\cdot R{O}^{\prime }+R{O}^{\prime 2}+P{O}^{\prime 2}=O{O}^{\prime 2}+P{O}^{\prime 2}=O{P}^2$
(2) 同理;
证明 (3), 由引理1的推论可立刻得到 ( $P{Q}^2$ 等于 $P$, $Q$ 两点的圆幂之和 ).

推论. $O$ 是自共轭三角形 (极点三角形) $PQR$ 的垂心.

证明: 由引理1可立刻得出.

性质8. 从不在圆上的一点 (异于圆心) $P$ 引3条直线依次交圆于 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$. 直线 $EF$ 与 $P$ 关于圆的极线交于点 $Q$, 直线 $AC$ 与 $BD$ 分别交 $EF$ 于 $G,H$, $AD$ 与 $BC$ 分别交 $EF$ 于 $G^{\prime }$, $H^{\prime }$. 求证: $P$, $Q$ 调和分割 $GH$ 和 $G^{\prime }{H}^{\prime }$.

推论(Candy Theorem). 如图, $P$ 是 $⨀O$ 内的一点, $AB$, $CD$ 是通过 $P$ 的两条弦 (假设 $PE>PF$), 连结 $AC$, $BD$, $EF$ 是一条通过点 $P$ 且与线段 $AC$, $BD$ 相交的弦, 交点分别为 $E^{\prime }$, $F^{\prime }$. 求证: $\frac{1}{PF}-\frac{1}{PE}=\frac{1}{P{F}^{\prime }}-\frac{1}{P{E}^{\prime }}$.

证明: 当 $OP$ 不垂直于 $EF$ 时: 如图, 设点 $P$ 的极线交 $EF$ 于点 $Q$, 由性质8 ( $AB$, $CD$, $EF$ 是过 $P$ 的三条割线 $AD$ 和 $BC$ 分别交 $EF$ 于 $E^{\prime }$, $F^{\prime }$ ), 因此 $E^{\prime }$, $F^{\prime }$ 调和分割 $PQ$, 又由性质 4 得, $E$, $F$ 调和分割 $PQ$, 由调和分割的性质可知, $\frac{1}{PE}-\frac{1}{PF}=\frac{1}{P{E}^{\prime }}-\frac{1}{P{F}^{\prime }}=\frac{2}{PQ}$. 当 $OP\perp EF$ 时, 可视为交点 $Q$ 在无穷远处, $QE=QF=\infty$ 显然 $PE=PF$, $P{E}^{\prime }=P{F}^{\prime }$ 上式成立.

例1. 四边形 $ABCD$ 内接于 $⨀O$, 直线 $AB$ 和 $CD$ 相交于 $P$, 直线 $AD$ 与 $BC$ 相交于 $Q$, 过 $Q$ 作 $⨀O$ 的两条切线, 切点为 $E$, $F$. 求证: $P$, $E$, $F$ 三点共线.
证明: 略.

例2. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 与 $BC$, $AC$, $AB$ 分别切于 $D$, $E$, $F$. 直线 $DE$ 与$AB$ 交于 $P$, 直线 $DE$ 与 $AB$ 交于 $Q$, $BE$ 与 $CF$ 交于 $J$. 求证: $IJ\perp PQ$.
证明: 略.

例3. 设 $△ABC$ 是一个等腰三角形, $AB=AC$, 假如 $M$ 是 $BC$ 的中点, $O$ 是 $AM$ 上的点, 使得 $OB\perp AB$, $Q$ 是 $BC$ 上不同于 $BC$ 的任意一点, $E$ 在 $AB$ 上, $F$ 在 $AC$ 上, 使得 $E$, $Q$, $F$ 是不同且共线的三个点. 求证: $QE=QF$ 的必要条件是 $OQ\perp EF$, $OQ\perp EF$ 当且仅当 $QE=QF$.

证明: 根据性质8, 若 $QE$ 不垂直于 $EF$, 设 $Q$ 的极限交 $EF$ 于 $K$, (当垂直时可视为 $K$ 在无穷远 ), $E$, $F$ 调和分割 $QK$, $QE/QF=KQ/KF$, 显然 $KQ/KF$ 当且仅当 $OQ\perp EF$, 因此 $OQ\perp EF$ 当且仅当 $QE=QF$.

例4. 设 $△ABC$ 的内切圆 $\Gamma$ 切 $BC$ 于点 $D$, $D{D}^{\prime }$ 是 $\Gamma$ 的直径, 过$D^{\prime }$ 作 $\Gamma$ 的切线交 $AD$ 于点 $X$, 过 $X$ 作 $\Gamma$ 的另一条切线, 切点为 $N$. 求证: $△BCN$ 的外接圆与圆 $\Gamma$ 切于$N$.

例5. 证明双心四边形的两个圆心与其对角线的交点共线.

证明: 设 $AB$ 与 $CD$ 交于 $M$, $BC$ 与 $AD$ 交于 $N$ ($M$, $N$未画出), 由引理1得, $OQ\perp MN$, 下面证明 $IQ\perp MN$, 由牛顿定理, $EG$ 与 $FH$ 交于 $Q$, 且它们分别是 $M$, $N$ 关于内圆的极线, 因此 $MN$ 是 $I$ 关于内圆的极线, $IQ\perp MN$.

例6. 设 $D$ 是 $△ABC$ 边 $BC$ 上的一点, 满足 $\angle CAD=\angle BCA$, $⨀O$ 经过$BD$ 且分别与$AB$, $AD$ 交于 $E$, $F$, $BF$ 与 $DE$ 相交于 $G$, $M$ 是 $AG$ 的中点. 求证: $CM\perp AO$.

证明: 如图, 由引理1, $XG\perp AO$, 证明 $XG//CM$ 即可, $XG//CM$ 等价于 $CY=AC$. 由相似, $CM=\frac{1}{2}GY$. 由梅涅劳斯定理,
$$\frac{AY}{CY}=\frac{DX}{CX}\frac{AK}{DK}$$
易证 $XF//AC$ ($\angle ABC=\angle DFX=\angle DAC$), 因此 $\frac{DX}{CX}=\frac{DF}{AF}$
设 $A$ $K$ 调和分割 $DF$, 设 $\frac{FA}{DA}=\frac{FK}{DK}=aDF$, $\frac{AF}{AF+1}=\frac{a}{1-a}$, $AF=\frac{a}{1-2a}$
$$\frac{AY}{CY}=\frac{DF}{AF}\frac{AK}{DK}=\frac{DA-AF}{AF}\frac{AF+KF}{DF-KF}=(\frac{1-a}{a}-1)\frac{(\frac{1}{1-2a}+1)}{(\frac{1}{a}-1)}=2$$
证毕.

例7. 已知一圆$O$ 和圆外一点 $P$, $P$ 对应的两个切点记作 $A$, $B$, 从 $P$ 引两条直线, 分别交圆于 $C$, $D$ 与 $E$, $F$. 求证图中的6个三点共线关系.

证明: 证明点 $M$, $Q$, $N$ 共线: 设 $NQ$ 分别与 $AE$ $BC$ 交于 $M_1$， $M_2$, 由性质8 ( $Q$ 为公共点, 过 $Q$ 的四条割线为 $AB$, $CF$,$DE$, $NQ$), 设 $NQ$ 交 $Q$ 的极线为 $P^{\prime }$, 对于割线 $AB$, $DE$, $NQ$, $M_1$, $N$ 分别可以看作$AE$, $BD$ 和 $NQ$ 的交点, 则 $P^{\prime }$, $M_1$, $Q$, $N$ 和 $P^{\prime }$, $M_2$, $Q$, $N$ 为调和点列, 显然 $M_1$ $M_2$ 重合. 同理可证明点 $M$, $P$, $N$ 共线.
其余证法类似.

练习1. 设 $A$, $B$, $C$, $D$ 是同一个圆上的四个点. 求证: 如果在 $A$, $B$ 两点的切线的交点在 $CD$ 上, 则在 $C$, $D$ 两点的切线的交点在 $AB$ 上.

练习2. 过 $⨀O$ 内任意一点 $M$ 作非直径的2条弦 $AB$, $CD$, 设在 $A$, $B$ 两点的切线的交点为 $P$, 在 $C$, $D$ 两点的切线的交点为 $Q$. 求证: $OM\perp PQ$.

练习3. 设 $P$, $Q$ 是 $⨀O$ 外任意2点, 分别作切线 $PA$, $PB$ $QC$, $QD$, 其中 $A$, $B$, $C$, $D$ 为切点. $PA$ 与 $QC$ 交于点 $E$, $PB$ 与 $QD$ 交于点 $F$, 圆心 $O$ 在直线 $PQ$ 上的射影为 $M$. 求证: $OM$ 平分 $\angle EMF$.

练习4. ( 有改动 ) 设$P$ 是 $⨀O$ 外任意一点, 过点 $P$ 作一条割线交 $⨀O$ 于 $R$, $S$, 其中 $R$ 为离 $P$ 较近的点, 且位于 $P$, $Q$ 之间的劣弧上, 作 $SM//PR$ 交 $⨀O$ 于 $M$, 过 $M$ 作 $⨀O$ 的切线交 $AP$ 于 $N$. 求证: $\angle MRN=\angle QRS$.

练习5. 设 $A$, $B$, $C$, $D$ 内接于圆 $⨀O$, $AB$ 与 $CD$ 交于点 $P$, $BC$ 与 $AD$ 交于点 $Q$, 过点 $A$ 作 $AE//PQ$ 交直线 $BC$ 于点 $E$, $AE$ 的中点为 $M$. 求证: $OP\perp QM$.

练习6. 在 $△ABC$ 中, $AB>BC$, 它的内切圆切 $BC$ 于点 $E$, 连结 $AE$ 交内切圆于点 $D$, 在线段 $AE$ 上取异于 $E$ 的一点 $F$, 使得 $CE=CF$, 连结 $CF$ 并延长交 $BD$ 于点 $G$. 求证: $CF=FG$.

练习7. $⨀O$ 外有一点 $V$, 过点 $V$ 作半圆 $O$ 切线 $VT$, $VS$, 切点分别为 $T$, $S$. 连结 $TS$ 交 $VO$ 于点 $G$, 过 $G$ 作半圆 $O$ 的割线交 $O$ 于点 $P$, $Q$. 求证: $VO$ 平分 $\angle PVQ$.

练习8. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 与 $BC$, $AC$, $AB$ 分别切于 $D$, $E$, $F$, 连结 $AD$ 交内切圆于点 $K$, 过点 $K$ 作内切圆切线分别交 $DF$, $DE$于点 $G$, $H$. 求证: $AD$, $BH$, $CG$ 三线共点.

练习9. 已知 $△ABC$ 的内切圆 $I$, 过 $IA$ 与内切圆的交点作内切圆的切线交 $BD$ 于点 $D$, 类似得到 $E$, $F$. 求证: $D$, $E$, $F$ 三点共线.

练习10. 设 $ABCD$是圆 $\Gamma$ 的外切四边形, 对角线 $AC$ 交圆 $\Gamma$ 于 $E$, $F$. 求证: 圆 $\Gamma$ 在 $E$, $F$ 两点的切线与另一条对角线 $BD$ 共点或平行.

习题答案

练习1. 显然, $P$ 在 $Q$ 的极线上, 因此 $P$ 也在 $Q$ 的极线上, 证毕.

练习2. $M$ 在 $Q,P$ 的极线上, 因此 $PQ$ 是 $M$ 的极线.

练习3. 如图, 根据蝴蝶定理, $OI=OJ$. 此外, 易证 $EM$ 是 $I$ 的极线, $FM$ 是 $J$ 的极线. 因为 $OI=OJ$, 所以 $O$ 到 $EM$, $FM$ 的距离相等, 证毕.

练习4. 如图, 易得, 原命题等价于 $Q{Q}^{\prime }//PR//MS$, 又等价于 $P{X}^{\prime }/X^{\prime }M=PX/XM$. 由共轭中线的性质得: $R{X}^{\prime }$ 是 $△PRS$ 的一条共轭中线, $P{X}^{\prime }/X^{\prime }M=P{R}^2/R{M}^2$, 由调和四边形的性质得: $PRQS$ 是调和四边形, $R,S$ 处的切线与 $PQ$ 共点, 因此 $RQ$ 是 $△PRS$ 的共轭中线, 因此 $PX/XS=P{R}^2/P{S}^2$. 由对称性易验证 $P{R}^2/R{M}^2=P{R}^2/P{S}^2$, 因此 $P{X}^{\prime }/X^{\prime }M=PX/XS$, 证毕.

练习5. 该命题可以反过来证明, 等价于: 过 $Q$ 作 $OP$ 的垂线, 交 $AE$ 于 $M$, 证明 $M$ 是 $AE$ 中点, 即: $AM=\frac{1}{2}AE$. 由引理1得, $OM$ 是$P$ 的极线, 进而 $P$, $X$ 调和分割 $A,B$. 由相似关系可知, $AM/PQ=AX/PX$, $AE/PQ=AB/PB$, 即证 $(AX\cdot PB)/(PX\cdot AB)=1/2$. $AX\cdot PB=AX\cdot (AP-AB)$, $PX\cdot AB=XB\cdot AP=(AP-AX)\cdot AB$, 即证: $\frac{AP/AB-1}{AP/AX-1}=1/2$, 设 $AB=1$, $AX=t$, 则 $AP/BP=AX/BX=t/(1-t)$, $AP-PB=1$, 由此得 $AP=t/(2t-1)$, 代入上式得: $\frac{AP/AB-1}{AP/AX-1}=1/2$, 证毕.

练习6. 如图, 由内切圆的性质, $D$ 处的切线, 直线 $MN$, $BC$ 交于一点, 记为 $P$. 易证 $△DPE\sim △FCE$, $DP//CE$. 由相似, $CG=(BC/BP)\cdot DP$, 由内切圆性质可知, $P,E$ 调和分割 $B,C$, 因此 $DB$, $DF$, $DC$, $DP$ 可以看作是一个调和线束, $CG$ 可以看作是一个割 线, 且平行于 $DP$, 由调和点列的性质可知, $CF=CG$

练习7. 作直线 $VP$, $VQ$, 分别交 $⨀O$ 于 $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$, 连结 $P^{\prime }{Q}^{\prime }$, 由于 $PQ$ 与 $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ 的连线必然在 $V$ 的极线 $TS$ 上, 因此必为 $G$. 设 $PQ$ 与 $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ 分别与 $TS$ 交于 $M$, $N$, 由蝴蝶定理可知 $MG=MN$, 由此易证 $PG$ 平分 $\angle MPN$.

练习8. 由内切圆的性质, $GH$, $FE$, $BC$ 共点, 设为 $P$, $B_1$ 处的切线, $DF$, $AC$ 共点, $C_1$ 处的切线, $DE$, $AB$ 共点, 结合练习9的结论可得 $GD$ 与 $AC$ 的交点, $DH$ 与 $AB$ 的交点, 点 $P$ 共线, 因此 $△ABC$ 和 $△DHG$ 互为透视, 由迪沙格定理, $AD$, $BH$, $CG$ 共点.

练习9. 如图, 易证 $DF$ 是点 $K$ 的极线, 由角元形式的塞瓦定理可知, $T{C}_1$, $A_{1}R$, $B_{1}S$ 三线共点, 因此交于 $K$, 而 $T{C}_1$ 是点 $E$ 的极线, 因此相应地 $E$ 也在 $K$ 的极线 $DF$ 上.

练习10. 如图, 设过 $E$ 的切线与 $AC$ 交于 $K_1$, 过 $F$ 的切线与 $AC$ 交于 $K_2$, 即证 $K_1$ 与 $K_2$ 重合. 由于 $B$ 在 $K$ 的极线 $EF$ 上, 因此, $K_1$ 在 $B$ 的极线 $B_1{B}_2$ 上, 对 $△ABC$ 和截线 $B_1{B}_2{K}_1$ 应用梅涅劳斯定理得 $C{K}_1/A{K}_1=B_{2}C/A{B}_1$, 同理可证 $C{K}_2/A{K}_2=C{D}_2/A{D}_1$, 显然 $A{B}_1=A{D}_1$, $C{B}_2=C{D}_2$, 因此 $C{K}_1/A{K}_1=C{K}_2/A{K}_2$.