排序算法:快速排序

        快速排序算法由 C. A. R. Hoare 在 1960 年提出。它的时间复杂度也是 O(nlogn),但它在时间复杂度为 O(nlogn) 级的几种排序算法中,大多数情况下效率更高,所以快速排序的应用非常广泛。再加上快速排序所采用的分治思想非常实用,使得快速排序深受面试官的青睐,所以掌握快速排序的思想尤为重要。

        快速排序算法的基本思想是:

  • 从数组中取出一个数,称之为基数(pivot)
  • 遍历数组,将比基数大的数字放到它的右边,比基数小的数字放到它的左边。遍历完成后,数组被分成了左右两个区域
  • 将左右两个区域视为两个数组,重复前两个步骤,直到排序完成

        事实上,快速排序的每一次遍历,都将基数摆到了最终位置上。第一轮遍历排好 1 个基数,第二轮遍历排好 2 个基数(每个区域一个基数,但如果某个区域为空,则此轮只能排好一个基数),第三轮遍历排好 4 个基数(同理,最差的情况下,只能排好一个基数),以此类推。总遍历次数为 logn~n 次,每轮遍历的时间复杂度为 O(n),所以很容易分析出快速排序的时间复杂度为 
O(nlogn) ~ O(n^2),平均时间复杂度为 O(nlogn)。

快速排序递归框架

根据我们分析出的思路,先搭出快速排序的架子:

public static void quickSort(int[] arr) {
    quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {
    // 将数组分区,并获得中间值的下标
    int middle = partition(arr, start, end);
    // 对左边区域快速排序
    quickSort(arr, start, middle - 1);
    // 对右边区域快速排序
    quickSort(arr, middle + 1, end);
}
public static int partition(int[] arr, int start, int end) {
    // TODO: 将 arr 从 start 到 end 分区,左边区域比基数小,右边区域比基数大,然后返回中间值的下标
}

partition 意为“划分”,我们期望 partition 函数做的事情是:将 arr 从 start 到 end 这一区间的值分成两个区域,左边区域的每个数都比基数小,右边区域的每个数都比基数大,然后返回中间值的下标。

只要有了这个函数,我们就能写出快速排序的递归函数框架。首先调用 partition 函数得到中间值的下标 middle,然后对左边区域执行快速排序,也就是递归调用 quickSort(arr, start, middle - 1),再对右边区域执行快速排序,也就是递归调用 quickSort(arr, middle + 1, end)。

现在还有一个问题,何时退出这个递归函数呢?

退出递归的边界条件
        

        很容易想到,当某个区域只剩下一个数字的时候,自然不需要排序了,此时退出递归函数。实际上还有一种情况,就是某个区域只剩下 0 个数字时,也需要退出递归函数。当 middle 等于 start 或者 end 时,就会出现某个区域剩余数字为 0。

所以我们可以通过这种方式退出递归函数:

public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {
    // 将数组分区,并获得中间值的下标
    int middle = partition(arr, start, end);
    // 当左边区域中至少有 2 个数字时,对左边区域快速排序
    if (start != middle && start != middle - 1) quickSort(arr, start, middle - 1);
    // 当右边区域中至少有 2 个数字时,对右边区域快速排序
    if (middle != end && middle != end - 1) quickSort(arr, middle + 1, end);
}

        在递归之前,先判断此区域剩余数字是否为 0 个或者 1 个,当数字至少为 2 个时,才执行这个区域的快速排序。因为我们知道 middle >= start && middle <= end 必然成立,所以判断剩余区域的数字为 0 个或者 1 个也就是指 start 或 end 与 middle 相等或相差 1。

我们来分析一下这四个判断条件:

  • 当 start == middle 时,相当于 quickSort(arr, start, middle - 1) 中的 start == end + 1
  • 当 start == middle - 1 时,相当于 quickSort(arr, start, middle - 1) 中的 start == end
  • 当 middle == end 时,相当于 quickSort(arr, middle + 1, end) 中的 start == end + 1
  • 当 middle == end -1 时,相当于 quickSort(arr, middle + 1, end) 中的 start == end

综上,我们可以将此边界条件统一移到 quickSort 函数之前:

public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {
    // 如果区域内的数字少于 2 个,退出递归
    if (start == end || start == end + 1) return;
    // 将数组分区,并获得中间值的下标
    int middle = partition(arr, start, end);
    // 对左边区域快速排序
    quickSort(arr, start, middle - 1);
    // 对右边区域快速排序
    quickSort(arr, middle + 1, end);
}

        更进一步,由上文所说的 middle >= start && middle <= end 可以推出,除了start == end || start == end + 1这两个条件之外,其他的情况下 start 都小于 end。所以我们可以将这个判断条件再次简写为:

public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {
    // 如果区域内的数字少于 2 个,退出递归
    if (start >= end) return;
    // 将数组分区,并获得中间值的下标
    int middle = partition(arr, start, end);
    // 对左边区域快速排序
    quickSort(arr, start, middle - 1);
    // 对右边区域快速排序
    quickSort(arr, middle + 1, end);
}

        这样我们就写出了最简洁版的边界条件,我们需要知道,这里的 start >= end 实际上只有两种情况:

  • start == end: 表明区域内只有一个数字
  • start == end + 1: 表明区域内一个数字也没有

不会存在 start 比 end 大 2 或者大 3 之类的。

分区算法实现


        快速排序中最重要的便是分区算法,也就是 partition 函数。大多数人都能说出快速排序的整体思路,但实现起来却很难一次写对。主要问题就在于分区时存在的各种边界条件,需要读者亲自动手实践才能加深体会。

        上文已经说到,partition 函数需要做的事情就是将 arr 从 start 到 end 分区,左边区域比基数小,右边区域比基数大,然后返回中间值的下标。那么首先我们要做的事情就是选择一个基数,基数我们一般称之为 pivot,意为“轴”。整个数组就像围绕这个轴进行旋转,小于轴的数字旋转到左边,大于轴的数字旋转到右边。(所谓的双轴快排就是一次选取两个基数,将数组分为三个区域进行旋转,关于双轴快排的内容我们将在后续章节讲解。)

基数的选择


        基数的选择没有固定标准,随意选择区间内任何一个数字做基数都可以。通常来讲有三种选择方式:

  • 选择第一个元素作为基数
  • 选择最后一个元素作为基数
  • 选择区间内一个随机元素作为基数

选择的基数不同,算法的实现也不同。实际上第三种选择方式的平均时间复杂度是最优的,待会分析时间复杂度时我们会详细说明。

本文通过第一种方式来讲解快速排序:

// 将 arr 从 start 到 end 分区,左边区域比基数小,右边区域比基数大,然后返回中间值的下标
public static int partition(int[] arr, int start, int end) {
    // 取第一个数为基数
    int pivot = arr[start];
    // 从第二个数开始分区
    int left = start + 1;
    // 右边界
    int right = end;
    // TODO
}

最简单的分区算法


        分区的方式也有很多种,最简单的思路是:从 left 开始,遇到比基数大的数,就交换到数组最后,并将 right 减一,直到 left 和 right 相遇,此时数组就被分成了左右两个区域。再将基数和中间的数交换,返回中间值的下标即可。

按照这个思路,我们敲出了如下代码:

public static void quickSort(int[] arr) {
    quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {
    // 如果区域内的数字少于 2 个,退出递归
    if (start >= end) return;
    // 将数组分区,并获得中间值的下标
    int middle = partition(arr, start, end);
    // 对左边区域快速排序
    quickSort(arr, start, middle - 1);
    // 对右边区域快速排序
    quickSort(arr, middle + 1, end);
}
// 将 arr 从 start 到 end 分区,左边区域比基数小,右边区域比基数大,然后返回中间值的下标
public static int partition(int[] arr, int start, int end) {
    // 取第一个数为基数
    int pivot = arr[start];
    // 从第二个数开始分区
    int left = start + 1;
    // 右边界
    int right = end;
    // left、right 相遇时退出循环
    while (left < right) {
        // 找到第一个大于基数的位置
        while (left < right && arr[left] <= pivot) left++;
        // 交换这两个数,使得左边分区都小于或等于基数,右边分区大于或等于基数
        if (left != right) {
            exchange(arr, left, right);
            right--;
        }
    }
    // 如果 left 和 right 相等,单独比较 arr[right] 和 pivot
    if (left == right && arr[right] > pivot) right--;
    // 将基数和中间数交换
    if (right != start) exchange(arr, start, right);
    // 返回中间值的下标
    return right;
}
private static void exchange(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

        因为我们选择了数组的第一个元素作为基数,并且分完区后,会执行将基数和中间值交换的操作,这就意味着交换后的中间值会被分到左边区域。所以我们需要保证中间值的下标是分区完成后,最后一个比基数小的值,这里我们用 right 来记录这个值。

        这段代码有一个细节。首先,在交换 left 和 right 之前,我们判断了 left != right,这是因为如果剩余的数组都比基数小,则 left 会加到 right 才停止,这时不应该发生交换。因为 right 已经指向了最后一个比基数小的值。

        但这里的拦截可能会拦截到一种错误情况,如果剩余的数组只有最后一个数比基数大,left 仍然加到 right 停止了,但我们并没有发生交换。所以我们在退出循环后,单独比较了 arr[right] 和 pivot。

        实际上,这行单独比较的代码非常巧妙,一共处理了三种情况:

  • 一是刚才提到的剩余数组中只有最后一个数比基数大的情况
  • 二是 left 和 right 区间内只有一个值,则初始状态下, left == right,所以 while (left < right) 根本不会进入,所以此时我们单独比较这个值和基数的大小关系
  • 三是剩余数组中每个数都比基数大,此时 right 会持续减小,直到和 left 相等退出循环,此时 left 所在位置的值还没有和 pivot 进行比较,所以我们单独比较 left 所在位置的值和基数的大小关系

双指针分区算法

        除了上述的分区算法外,还有一种双指针的分区算法更为常用:从 left 开始,遇到比基数大的数,记录其下标;再从 right 往前遍历,找到第一个比基数小的数,记录其下标;然后交换这两个数。继续遍历,直到 left 和 right 相遇。然后就和刚才的算法一样了,交换基数和中间值,并返回中间值的下标。

代码如下:

public static void quickSort(int[] arr) {
    quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {
    // 如果区域内的数字少于 2 个,退出递归
    if (start >= end) return;
    // 将数组分区,并获得中间值的下标
    int middle = partition(arr, start, end);
    // 对左边区域快速排序
    quickSort(arr, start, middle - 1);
    // 对右边区域快速排序
    quickSort(arr, middle + 1, end);
}
// 将 arr 从 start 到 end 分区,左边区域比基数小,右边区域比基数大,然后返回中间值的下标
public static int partition(int[] arr, int start, int end) {
    // 取第一个数为基数
    int pivot = arr[start];
    // 从第二个数开始分区
    int left = start + 1;
    // 右边界
    int right = end;
    while (left < right) {
        // 找到第一个大于基数的位置
        while (left < right && arr[left] <= pivot) left++;
        // 找到第一个小于基数的位置
        while (left < right && arr[right] >= pivot) right--;
        // 交换这两个数,使得左边分区都小于或等于基数,右边分区大于或等于基数
        if (left < right) {
            exchange(arr, left, right);
            left++;
            right--;
        }
    }
    // 如果 left 和 right 相等,单独比较 arr[right] 和 pivot
    if (left == right && arr[right] > pivot) right--;
    // 将基数和轴交换
    exchange(arr, start, right);
    return right;
}
private static void exchange(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

        同样地,我们需要在退出循环后,单独比较 left 和 right 的值。

        从代码实现中可以分析出,快速排序是一种不稳定的排序算法,在分区过程中,相同数字的相对顺序可能会被修改。

时间复杂度 & 空间复杂度

        快速排序的时间复杂度上文已经提到过,平均时间复杂度为 O(nlogn),最坏的时间复杂度为 
O(n^2),空间复杂度与递归的层数有关,每层递归会生成一些临时变量,所以空间复杂度为 
O(logn) ~ O(n),平均空间复杂度为 O(logn)。

快速排序的优化思路

        第一种就是我们在前文中提到的,每轮选择基数时,从剩余的数组中随机选择一个数字作为基数。这样每轮都选到最大或最小值的概率就会变得很低了。所以我们才说用这种方式选择基数,其平均时间复杂度是最优的

        第二种解决方案是在排序之前,先用洗牌算法将数组的原有顺序打乱,以防止原数组正序或逆序。

        Java 已经将洗牌算法封装到了集合类中,即 Collections.shuffle() 函数。洗牌算法由 Ronald A.Fisher 和 Frank Yates 于 1938 年发明,思路是每次从未处理的数据中随机取出一个数字,然后把该数字放在数组中所有未处理数据的尾部。 Collections.shuffle() 函数源码如下:

private static final int SHUFFLE_THRESHOLD = 5;

public static void shuffle(List list, Random rnd) {
    int size = list.size();
    if (size < SHUFFLE_THRESHOLD || list instanceof RandomAccess) {
        for (int i=size; i>1; i--)
            swap(list, i-1, rnd.nextInt(i));
    } else {
        Object arr[] = list.toArray();
        // Shuffle array
        for (int i=size; i>1; i--)
            swap(arr, i-1, rnd.nextInt(i));
        // Dump array back into list
        // instead of using a raw type here, it's possible to capture
        // the wildcard but it will require a call to a supplementary
        // private method
        ListIterator it = list.listIterator();
        for (int i=0; i list, int i, int j) {
    // instead of using a raw type here, it's possible to capture
    // the wildcard but it will require a call to a supplementary
    // private method
    final List l = list;
    l.set(i, l.set(j, l.get(i)));
}

private static void swap(Object[] arr, int i, int j) {
    Object tmp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = tmp;
}

        从源码中可以看出,对于数据量较小的列表(少于 5 个值),shuffle 函数直接通过列表的 set 方法进行洗牌,否则先将 list 转换为 array,再进行洗牌,以提高交换效率,洗牌完成后再将 array 转成 list 返回。

        还有一种解决方案,既然数组重复排序的情况如此常见,那么我们可以在快速排序之前先对数组做个判断,如果已经有序则直接返回,如果是逆序则直接倒序即可。在 Java 内部封装的 Arrays.sort() 的源码中就采用了此解决方案。

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