【考研数学】概率论与数理统计 —— 第二章 | 一维随机变量及其分布（1，基本概念与随机变量常见类型）
文章目录
- 引言
- 一、一维随机变量及其分布
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- 1.1 随机变量
- 1.2 分布函数
- 二、随机变量常见类型及分布
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- 2.1 离散型随机变量
- 2.2 连续型随机变量及概率密度函数
- 写在最后
引言
暑假接近尾声了，争取赶一点概率论部分的进度。
一、一维随机变量及其分布
1.1 随机变量
设随机试验 E E E 的样本空间为 Ω \Omega Ω ， X X X 为定义于样本空间 Ω \Omega Ω 上的函数，对于任意 w ∈ Ω w \in \Omega w∈Ω ，总存在唯一确定的 X ( w ) X(w) X(w) 与之对应，称 X ( w ) X(w) X(w) 为随机变量，一般记为 X X X 。
随机变量一定的取值范围本质上就是随机事件，若随机变量某个范围内取不到任何值，本质上为不可能事件，若某个范围包含了随机变量所有可能的取值，本质上就是必然事件。
1.2 分布函数
设 X X X 为随机变量，对任意的实数 x x x ，称函数 F ( x ) = P F(x)=P F(x)=P { X ≤ x X \leq x X≤x } 为随机变量 X X X 的分布函数。
其有如下四个性质：
（1） 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 ; 0 \leq F(x) \leq 1; 0≤F(x)≤1;
（2） F ( x ) F(x) F(x) 是 x x x 的单调不减函数；
（3） F ( x ) F(x) F(x) 关于 x x x 右连续；
（4） F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1. F(-\infty)=0,F(+\infty)=1. F(−∞)=0,F(+∞)=1.
若有一个函数满足以上四个条件，可称其为某个随机变量的分布函数。如 F ( 3 x − 1 ) F(3x-1) F(3x−1) 仍为分布函数，但 F ( 1 − 3 x ) F(1-3x) F(1−3x) 不是分布函数，当 x → + ∞ x \to +\infty x→+∞ ， F ( 1 − 3 x ) F(1-3x) F(1−3x) 极限为 0 不为 1 ； F ( x 2 ) F(x^2) F(x2) 也不是分布函数，因为当 x → + ∞ x \to +\infty x→+∞ ， F ( x 2 ) F(x^2) F(x2) 极限为 1 不为 0 。
设随机变量 X X X 的分布函数为 F ( x ) F(x) F(x) ，则
（1） P P P { X < a X < a X<a } = F ( a − 0 ) ; =F(a - 0); =F(a−0);
（2） P P P { a < X ≤ b a < X\leq b a<X≤b } = F ( b ) − F ( a ) ; =F(b)-F(a); =F(b)−F(a);
（3） P P P { a ≤ X < b a \leq X < b a≤X<b } = F ( b − 0 ) − F ( a − 0 ) ; =F(b - 0)-F(a-0); =F(b−0)−F(a−0);
（4） P P P { a ≤ X ≤ b a \leq X \leq b a≤X≤b } = F ( b ) − F ( a − 0 ) ; =F(b)-F(a-0); =F(b)−F(a−0);
（5） P P P { a < X < b a < X < b a<X<b } = F ( b − 0 ) − F ( a ) ; =F(b - 0)-F(a); =F(b−0)−F(a);
（6） P P P { X = a X =a X=a } = F ( a ) − F ( a − 0 ) ; =F(a)-F(a-0); =F(a)−F(a−0);
二、随机变量常见类型及分布
2.1 离散型随机变量
设 X X X 为随机变量，若 X X X 的可能取值是有限个或可列个，称 X X X 为离散型随机变量。
设离散型随机变量 X X X 的可能取值为 x i ( i = 1 , 2 , … ) x_i(i=1,2,\dots) xi(i=1,2,…) ，其对应的概率为 P P P { X = x i X=x_i X=xi } = p i =p_i =pi ，称 P P P { X = x i X=x_i X=xi } = p i =p_i =pi 或下表
为随机变量 X X X 的分布律。
离散型随机变量 X X X 的分布律满足：
（1） p i ≥ 0 ( i = 1 , 2 , … ) . p_i \geq 0(i=1,2,\dots). pi≥0(i=1,2,…).
（2） ∑ i = 1 + ∞ p i = 1. \sum_{i=1}^{+\infty}p_i=1. ∑i=1+∞pi=1.
（3）分布函数 F ( x ) = P F(x)=P F(x)=P { X ≤ x X \leq x X≤x } 为阶梯函数，且 F ( x ) F(x) F(x) 的间断点即为随机变量 X X X 的可能取值。
什么是阶梯函数呢，就是图像是像台阶那样的。举个例子，记随机变量 X X X 为投掷一枚均匀的骰子朝上的点数，则 X X X 可取 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6 ，且 P P P { X = i X=i X=i } = 1 6 ( i = 1 , 2 , … , 6 ) =\frac{1}{6}(i=1,2,\dots,6) =61(i=1,2,…,6) ，其分布律如下表所示：
分布函数图像为：
注意，阶梯是先右再上的阶梯，因为是离散的取值，所以在两个取值之间的分布函数值应为前一个取值所对应函数值。
2.2 连续型随机变量及概率密度函数
设随机变量 X X X 的分布函数为 F ( x ) F(x) F(x) ，若存在非负、可积的函数 f ( x ) f(x) f(x) ，使得对任意实数 x x x ，有 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t , F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt, F(x)=∫−∞xf(t)dt, 称 X X X 为连续型随机变量，函数 f ( x ) f(x) f(x) 为随机变量 X X X 的概率密度函数或概率密度。
连续型随机变量概率密度有如下结论：
（1） f ( x ) ≥ 0 ; f(x) \geq 0; f(x)≥0;
（2） ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) d t = 1 ; \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1; ∫−∞+∞f(t)dt=1;
（3）分布函数 F ( x ) F(x) F(x) 为连续函数，但不一定可导；
（4） P P P { X = a X=a X=a } = F ( a ) − F ( a − 0 ) = 0 =F(a)-F(a-0)=0 =F(a)−F(a−0)=0 ，故连续型随机变量在任意一点处的概率为 0 。
（5）设分布函数为 F ( x ) F(x) F(x) ，则概率密度函数为 f ( x ) = { F ′ ( x ) , x 为 F ( x ) 的可导点 0 , x 为 F ( x ) 的不可导点 f(x) = \begin{cases} F'(x), & x \text{为} F(x) 的可导点 \\ 0, & x为F(x) 的不可导点\\ \end{cases} f(x)={F′(x),0,x为F(x)的可导点x为F(x)的不可导点 （6）存在既不是离散型又不是连续型的随机变量，如随机变量 X X X 的分布函数表达式为 F ( x ) = { 0 , if x < 0 x 2 , if 0 ≤ x < 1 1 if x ≥ 1 F(x) = \begin{cases} 0, & \text{if } x < 0 \\ \frac{x}{2}, & \text{if } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{if } x \geq1 \end{cases} F(x)=⎩ ⎨ ⎧0,2x,1if x<0if 0≤x<1if x≥1 显然 F ( x ) F(x) F(x) 满足分布函数的四个特性，但其不是阶梯函数，所以 X X X 非离散型随机变量。又因为 F ( x ) F(x) F(x) 存在间断点，所以 X X X 也非连续型随机变量，其图像如下图所示。
写在最后
下一篇我们将介绍一些常见的随机变量分布。