错排公式 方案数+概率

错排的定义：https://baike.baidu.com/item/%E9%94%99%E6%8E%92%E5%85%AC%E5%BC%8F/10978508?fr=aladdin
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精简： f[n] = (n - 1) * (f[n - 1] + f[n - 2])
f[n] 表示从第一个放到第n个的最大错排方案数，则 假设咱们要放第n号物品，首先把第n号物品拿在手里，那么n号就有一个空位了，现在咱们把第n号物品随意放在一个位置，因为是错排，不能放在n上，所以有(n - 1)个位置可以放，放完之后肯定会把另一个号的物品挤出来，假设是x，那么此时n就有了一个空位，并且手里拿这一个x。 此时，咱们分两种情况来讨论，第一种是x放在第n号的空位处，此时只是将x和n位置上的物品交换了位置，其他没有改变，因此接下来的操作就是把（n - 2)个物品错排，即：f[n - 2]。 第二种情况：x不放在第n的空位，此时咱们把x当成n，那么就变成了x位置不动了（因为已经有物品了），n不能放在n上，剩下的（n - 2) 个物品也要错排，所以就是n - 1个物品错排，即f [ n - 1];

so ： 证毕

简化公式：
D(n) = [n! / e + 0.5] 挺对的！！！

发生错排的概率：
D(n) / n! (错排方案 / n的全排列）
当n！很大的时候这个概率减少的很少，不足1e-6的精确度
代码：

#include 
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
typedef long long ll;
const double DINF = 1e20;
const double eps = 1e-8, e = 2.718282828;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 4e2 + 50;

inline double Get_mul(int n)
{
    double res = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) res *= i;

    return res;
}

ll f[N];

signed main(int argc, char* argv[])
{
    ll n; cin >> n; 

    for (int n = 1; n <= 20; n++)
    printf("%.6lf\n", 1.0 - floor(Get_mul(n) / e + 0.5) / Get_mul(n));

    f[1] = 0, f[2] = 1;

    for (int i = 3; i <= 15; i++) f[i] = (i - 1) * (f[i - 1] + f[i - 2]);

    return 0;
}