传染病模型

• 基础定义

将传染病范围内的人群分为以下类别：

1. (Susceptible)类：指未得病，但与感染者接触后容易收到感染的人。
2. (Exposed)类：指接触过感染者，但暂时没有传播的能力的人。
3. (Infectious)类：指染上传染病，具有传播能力的人。（可以传播给类人员，将其变成类或类成员）
4. (Recovered / Removed)类：指病愈而具有免疫力的人或被隔离的移出者。（如果免疫期有限，类人员可以重新变为类）

• 常见模型

1. SI模型

• 模型假设

1. 将人群分为类和类，在疾病传播期内所考察地区的总人数不变（即不考虑生死和迁移）。时刻这两类人群人数分别记为和。
2. 每个传染病患者每天有效接触的平均人数为（称为日接触率）。当传染病患者与健康人接触会将健康人感染为传染病患者。
3. 初始时刻传染病患者人数为。

• 模型建立

由以上假设可建立如下的微分方程：

• 模型求解

联立方程可得：
进一步化简可得：
令，则称为感染率。得：
上述方程为模型，其解为：
~ 和 ~ 的图像如下：

由上图可知，当 时， 达到最大值 ，此时

2. SIS模型

• 模型假设

1. 将人群分为类和类，在疾病传播期内所考察地区的总人数不变（即不考虑生死和迁移）。时刻这两类人群人数分别记为和。
2. 每个传染病患者每天有效接触的平均人数为（称为日接触率）。当传染病患者与健康人接触会将健康人感染为传染病患者。
3. 每天被治愈的患者数占总患者的比率为常熟（称为日治愈率）。病人治愈后成为仍可被感染的健康人。易知为传染病的平均传染期。
4. 初始时刻传染病患者人数为。

• 模型建立

由以上假设可以建立如下微分方程：

• 模型求解

联立方程可得：
进一步化简可得：
令，则称为感染率。得：
令，可知是整个传染期内每个患者有效接触的平均人数，称为接触数。得：
由以上方程可得SIS模型的 ~ 和 ~ t图像：

3. SIR模型

• 模型假设

1. 将人群分为健康人（类）、传染病患者（类）和病愈/死亡的移出者（类）（免疫期近似），在疾病传播期内所考察地区的总人数不变。时刻这三类人群人数分别记为、和。
2. 传染病患者的日接触率为，日治愈率为，传染期接触的总人数为。
3. 初始时刻的健康人数和患者数分别为、。

• 模型建立

由以上假设可以建立如下微分方程：
令，则称为未感染率；令，则称为感染患病率；令，则称为移出率。
上述方程可进一步化简为：
上述方程的解析解很难解出，可以利用仿真计算帮助我们分析该模型。

• 模型仿真

设，，，，。

1. 利用AnyLogic仿真软件仿真模型如下：

• 仿真数据：

• 仿真图像：

2. 利用matlab仿真模型如下：

• matlab代码：

function y = ill(t,x)
a = 1;
b = 0.3;
y = [a*x(1)*x(2) - b*x(1), -a*x(1)*x(2)]';
end 

ts = 0:50;
x0 = [0.02, 0.98];
[t, x] = ode45('ill', ts, x0)
figure
plot(t, x(:,1), t, x(:,2))
title("s(t)、i(t)～t图像");
xlabel("t/天");
ylabel("s(t)/i(t)");
legend("i(t)","s(t)");
grid
figure
plot(x(:,2), x(:,1))
title("i(t)～s(t)图像");
xlabel("s(t)");
ylabel("i(t)");
grid

• 仿真数据：
• 仿真图像：

• 模型分析

1. 相轨线定义（摘自百度百科——相轨线）
   对于微分方程：
   其解为：
   则该组解在平面（称为相平面）所描绘的曲线即相轨线。
2. 相轨线分析
   由以上可知，~平面成为相平面，相轨线在相平面上的定义域为：
   令 （含义同SIS模型）。
   对SIR模型微分方程：
   相除消去，得：
   可求得方程的解为：
   由方程可知SIR模型的相轨线：
   
   分析如上曲线可得SIR模型以下性质：

• 不论初始条件、如何，病人终将消失，即
• 最终未被感染的健康者的比例是，是方程 在内的根。
• 若，则先增加后减小；当时，达到最大值 然后单调减小且趋于0，则单调减小至。
• 若，则单调减小至零，单调减小至。

可以看出，是一个阈值，当时传染病就会蔓延，而当时传染病就不会蔓延。

在中，人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越大。可知，提高医疗卫生水平有助于控制传染病的蔓延。

另外，是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义为一个病人被个健康者交换。故当，即时，必有，即交换数不超过1，此时病人比例不会增加，传染病不会蔓延。

4. SIRS模型

• 模型假设

1. 将人群分为健康人（类）、传染病患者（类）和病愈的移出者（类）（免疫期近似），在疾病传播期内所考察地区的总人数不变。时刻这三类人群人数分别记为、和。
2. 传染病患者的日接触率为，日治愈率为，传染期接触的总人数为。
3. 初始时刻的健康人数和患者数分别为、。

• 模型建立