算法竞赛——并查集

并查集

在学习并查集之前我们需要弄懂什么是并查集，首先引入一个问题，给定一些元素以及元素之间的相互关系，如何快速判断两个元素是否在一个集合里。给个更具体的例子，如果两个人之间有共同的好友我们就说这两个人是好友，如小明和小红是好友，小红和小黄是好友，那么小明和小黄也是好友。并查集就是用来解决这样一类问题的森林数据结构，假如小明和小红是好友那么他们之间就会在同一颗树上。

它支持两种操作：
查找（Find）：确定某个元素处于哪个子集；
合并（Union）：将两个子集合并成一个集合。

查找

并查集实现查找的思路可以类比一个故事：几个家族进行宴会，但是家族普遍长寿，所以人数众多。由于长时间的分离以及年龄的增长，这些人逐渐忘掉了自己的亲人，只记得自己的爸爸是谁了，而最长者（称为「祖先」）的父亲已经去世，他只知道自己是祖先。为了确定自己是哪个家族，他们想出了一个办法，只要问自己的爸爸是不是祖先，一层一层的向上问，直到问到祖先。如果要判断两人是否在同一家族，只要看两人的祖先是不是同一人就可以了。
初始化定义数组fa[idx]=idx，表示每个人都代表独立的一个节点，也就是自己是自己的祖先`

// C++ Version
void makeSet(int size) {
  for (int i = 0; i < size; i++) fa[i] = i;  // i 就在它本身的集合里
  return;
}

查找函数

// C++ Version
int fa[MAXN];  // 记录某个人的爸爸是谁，特别规定，祖先的爸爸是他自己

// 递归
int find(int x) {
  // 寻找x的祖先
  if (fa[x] == x)  // 如果 x 是祖先则返回
    return x;
  else
    return find(fa[x]);  // 如果不是则 x 的爸爸问 x 的爷爷
}

// 非递归
int find(int x) {
  while (x != fa[x])  // 如果 x 不是祖先，就一直往上一辈找
  {
    x = fa[x];
  }
  return x;  // 如果 x 是祖先则返回
}

路径压缩

我们可以发现如果多次查找相同的问题，答案是相同的，我们并不在乎查找的路径中发生了什么事情，只在乎查找的起点和查找的终点是谁，于是我们可以进行路径压缩。把在路径上的每个节点都直接连接到根上，这就是路径压缩。具体用代码该如何实现呢？大家可以暂停一会先行思考一下这个问题。
图示：

代码
其实道理很简单，最终find一定会返回一个根节点，那么递归找到根节点后，让每个节点都等于根节点，就完成了路径压缩

// C++ Version
int find(int x) {
  if (x != fa[x])  // x 不是自身的父亲，即 x 不是该集合的代表
    fa[x] = find(fa[x]);  // 查找 x 的祖先直到找到代表，于是顺手路径压缩
  return fa[x];
}

时间复杂度与空间复杂度

通过路径压缩可以大大缩短并查集查找的时间复杂度，可近似的看为O（1），具体证明自行查阅，此处不做过多解释。
空间复杂度为O（n）

合并

第二个操作为合并，合并操作比较简单，想想我们是如何判断两个人是否在一个集合里的，只需要判断两个人的根节点是否相同，那么合并操作时，我们只需要改变其中一个根节点的祖宗节点（本来为它本身）为另外一个集合的祖宗节点即可。

// C++ Version
void unionSet(int x, int y) {
  // x 与 y 所在家族合并
  x = find(x);
  y = find(y);
  fa[x] = y;  // 把 x 的祖先变成 y 的祖先的儿子
}

这里大家可能有个疑问，那其它节点（属于x的子节点的），不是还没有修改吗？那么判断x的儿子和原本y的儿子，不就不相等了。这里我们要回到find函数

// C++ Version
int find(int x) {
  if (x != fa[x])  // x 不是自身的父亲，即 x 不是该集合的代表
    fa[x] = find(fa[x]);  // 查找 x 的祖先直到找到代表，于是顺手路径压缩
  return fa[x];
}

大家可以看到终止的条件为 x==fa[x],那么原本1号节点为终止节点，但是修改之后f[1]=6,所以会向上递归，最终返回6，如果是路径压缩，则还会将其它所有节点都改变为6.

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