二叉树的性质、前中后序遍历【详细】

1. 树概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合，有二叉树，N叉树等等。

• 子树是互不相交的（比如B不能连接C，D不能连接E）
• 除了根节点外，每个节点有且只有一个父节点。（A是B、C、D、E的父节点，B是F、G的父节点）
• 一颗有N个节点的树，有N-1条边。 （下图有10个节点，9条边）

在树结构中，度是指一个节点的子节点个数的最大值。如果一个节点没有子节点，则其度为0;如果一个节点只有一个子节点，则其度为1;如果一个节点有两个子节点，则其度为2,以此类推。【二叉树不存在度大于2的节点，上图是个N叉树】

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为4，B的度为2，F的度为0
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为4
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：C、F、G、H、等节点为叶结点
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点，B是F的父节点，同样也是G的父节点。
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点，C是A的孩子节点…
• 根结点：一棵树中，没有父结点的结点；如上图：A
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。上图树的层次是3层
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为3
• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：B、D、E…等节点为分支结点
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点，共同的父节点是A
• 堂兄弟结点：在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：G、H互为兄弟结点
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先，B是F的祖先
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

2.二叉树的概念

二叉树是一种树形结构，其中每个节点最多有两个子节点。 二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树。

• 二叉树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。如上图，从上到下，从左往右，依次为1、2、3、4、5、6。所谓有序是指从左往

• . **满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。**也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是
  $$2^k-1$$
  ，则它就是满二叉树。

• 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完 全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

1.2二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)（i>0）个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是
   $$2^k-1$$
   (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, **如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1,**也就是叶子节点比非叶子节点多1个。

   

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度K为
   $$log2(n+1)$$
   上取整。

   • 根据第二点性质可以推导出，2^k -1= n --> 2^k = n+1，这个k就等于第4点中提到的k，因为k为log2(n+1)；那么也就是求2的多少次方等于k，假设有9个节点，9+1 等于10,2的3次方等于8,2的4次方等于16,向上取整就是取4。该二叉树深度为4。

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

   • 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点【知道孩子序号，求父节点】
   • 若2i+1
   • 若2i+2

3.二叉树遍历

二叉树的遍历是指从根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有节点，使每个节点被且仅被访问一次。二叉树的遍历方式主要有：先序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。

• 先序遍历：根节点 -> 左子树 -> 右子树
• 中序遍历：左子树 -> 根节点 -> 右子树
• 后序遍历：左子树 -> 右子树 -> 根节点
• 层次遍历：按照从上到下顺序访问每个节点

3.2前序遍历

先序遍历：根节点 -> 左子树 -> 右子树，依次打印节点
遍历结果：1、2、 4 、 5、 3 、6

首先访问根节点1,打印1，然后递归地访问左子树和右子树。在左子树中，打印2，站在节点2的视角，也是一棵二叉树，节点2是这棵二叉树的根节点，于是又要先访问节点2的左子树，打印4，站在节点4的角度，节点4是根节点，节点4也有左子树和右子树，于是又要再去访问节点4的左子树，4的左子树为空，递归回来，访问节点4的右子树，右子树为空，递归回来。然后访问节点2的右子树；

递归回来，此时站在根节点1的视角，它的左子树遍历完了，于是访问右子树，站在右子树的视角，它此时也是一个独立 的二叉树,打印3后，于是要访问节点3的左子树和右子树。

以此类推，如下图，因此每个节点可以当做是一个二叉树，由多个小的二叉树结合成一个大的二叉树。

3.2 中序遍历

中序遍历：左子树 -> 根节点 -> 右子树依次打印节点
遍历结果：4、 2 、5、 1、6、3

**还是一样的图，只是访问的根节点的时机不一样！前序遍历，先打印根节点，中序遍历先打印最左的一个节点，后续遍历，最后打印根节点！**进来先访问到了根节点1，不打印，直到把左子树走完，此时遍历到了节点4，4没有左子树，于是递归回来打印4,4没有右子树，递归回来打印2，只有把节点2的左子树遍历完后，才会打印2；依次类推。所以只有把每个节点的左子树遍历完，才会打印当前节点，然后再去遍历右子树，右子树也有它的左子树，同理。

3.3 后序遍历

后序遍历：左子树 -> 右子树 -> 根节点
遍历结果：4、 5、 2、 6、 3、 1

根据前中后序遍历，得出，后序遍历，只有当左子树和右子树遍历完，才会回来打印根节点。

遍历开始，遇到1，不能打印，只有把1的左子树和右子树遍历完才能打印1，

走到节点2，不能打印，要先把节点2的左子树和右子树遍历完才能打印2，

走到4，由于4的左子树和右子树为空，递归回来打印4，

走到5，由于5的左子树和右子树为空，递归回来打印5，

此时再递归回来就可以打印节点2了，因为2的左子树和右子树都遍历完了。

依次类推，最后才能打印根节点1。

• 得出一个规律：前序遍历的第一个打印的节点肯定是根节点，后序遍历最后打印的节点肯定是根节点。【重点】

根据上述规律，做出这道题：

1.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()

A: adbce B: decab C: debac D: abcde

根据规律可以画出如下图：

根据后序遍历，最后一个打印的节点是a,那么a肯定就是这颗二叉树的根节点，再根据中序遍历，按照a的位置，划分左右子树，a的左边是a的左子树，a的右边是a的右子树，由于a的右边有多个节点，不确定哪个节点是a的孩子节点，所以要继续化简，于是得出：

再根据后序遍历的倒数第二个节点，因为后序遍历中的a已经被刨除出去了，所以当前后序遍历的最后一个节点是c，再根据规律后序遍历的最后一个节点肯定是根节点，按照c的位置，划分出中序遍历的左右子树，在中序遍历中，c的左边是c的左子树，c的右边是c的右子树，由于c的左右皆剩下1个节点，那么这两个节点就是c的孩子节点，于是得出：

，因为后序遍历中的a已经被刨除出去了，所以当前后序遍历的最后一个节点是c，再根据规律后序遍历的最后一个节点肯定是根节点，按照c的位置，划分出中序遍历的左右子树，在中序遍历中，c的左边是c的左子树，c的右边是c的右子树，由于c的左右皆剩下1个节点，那么这两个节点就是c的孩子节点，于是得出：

答案是：D