（三）赋范向量空间中的极限与连续

1. 赋范向量空间中点列的极限

定义1-1：设 $\left\{x_n\right\},n\in \mathbb{N}$ 为赋范向量空间 $E$ 中的点列，若
$$\begin{array}{c}\exists l\in E,s.t.\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n-l\Vert =0\end{array}$$则称 $\left\{x_n\right\}$ 依范数收敛于 $l$，记为 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=l$。

显然，上述定义是通过将点列的收敛转化为 $\mathbb{R}$ 上的数列收敛得到的。

定理1-1：若赋范向量空间 $E$ 中的点列 $\left\{x_n\right\},n\in \mathbb{N}$ 收敛，则极限值唯一。

证明：若$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=l_1$ 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=l_2$，则
$$\{\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n-l_1\Vert =0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n-l_2\Vert =\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert l_2-x_n\Vert =0\end{array}$$那么
$$\begin{array}{c}0⩽\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert l_2-l_1\Vert =\Vert l_2-l_1\Vert ⩽\underset{n\to \infty }{\lim }(\Vert x_n-l_1\Vert +\Vert l_2-x_n\Vert )=0\end{array}$$故，
$$\Vert l_2-l_1\Vert =0⟺l_1=l_2\text{（证毕）}$$

定理1-1：若赋范向量空间 $E$ 中的收敛点列 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 分别收敛于 $l_x,l_y$，则
$$\{\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n+y_n)=l_x+l_y\\ \underset{n\to \infty }{\lim }(\lambda x_n)=\lambda l_x,(\lambda \in \mathbb{R})\end{array}$$

证明：由已知：
$$\{\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n-l_x\Vert =0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\Vert y_n-l_y\Vert =0\end{array}$$根据范数的三角不等式有：
$$\begin{array}{c}0\le \underset{n\to \infty }{\lim }\Vert (x_n+y_n)-(l_x+l_y)\Vert \le \underset{n\to \infty }{\lim }(\Vert x_n-l_x\Vert +\Vert y_n-l_y\Vert )=0\end{array}$$故
$$\begin{array}{c}\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert (x_n+y_n)-(l_x+l_y)\Vert =0⟹\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n+y_n)=l_x+l_y\end{array}$$另外
$$\begin{array}{c}\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert \lambda x_n-\lambda l_x\Vert =|\lambda |\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n-l_x\Vert =0⟹\underset{n\to \infty }{\lim }(\lambda x_n)=\lambda l_x\end{array}$$

2. 赋范向量空间中映射的连续性

定义2-1：设 $(E,||\cdot |{|}_E),(F,||\cdot |{|}_F)$ 为两个赋范向量空间，$A\subset E,a\in A$，定义映射 $$f:A\to F:a\mapsto f(a)$$这种由赋范线性空间到赋范线性空间的映射亦称 算子。若对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对任意 $a\in A$ 均有：当 $||x-a|{|}_E<\delta$ 时，便有 $||f(x)-f(a)|{|}_F<\epsilon$}成立，则称映射 $f$ 在 $a$ 点处连续。若 $f$ 在任意 $a\in A$ 上均连续，则称 $f$在$A$上连续。

定理2-1：若赋范向量空间上
$$\{\begin{array}{ll}(E,||\cdot |{|}_E):& ||\cdot |{|}_E\sim ||\cdot |{|}_E^{\times }\\ (F,||\cdot |{|}_F):& ||\cdot |{|}_F\sim ||\cdot |{|}_F^{\times }\end{array}$$ 则映射 $f:A\subset E\to F:a\mapsto f(a)$ 基于 $(||\cdot |{|}_E,||\cdot |{|}_F)$ 连续当且仅当它对 $(||\cdot |{|}_E^{\times },||\cdot |{|}_F^{\times })$ 也连续。

证明： $f$ 对 $(||\cdot |{|}_E^{\times },||\cdot |{|}_F^{\times })$ 连续，故：

对任意 ${\epsilon }^{\times }>0$ 存在 ${\delta }^{\times }>0$ 使得当 $||x-y|{|}_E^{\times }<{\delta }^{\times }$ 时，就有 $\Vert f(x)-f(y){\Vert }_F^{\times }<{\epsilon }^{\times }$ 成立。

根据范数的等价可知，存在 $c_i>0,i=1,2$ 使得
$$\{\begin{array}{l}||x-y|{|}_E^{\times }\le \frac{1}{c_1}||x-y|{|}_E\\ ||f(x)-f(y)|{|}_F\le c_2||f(x)-f(y)|{|}_F^{\times }\end{array}$$要证明 $f$ 基于 $(||\cdot |{|}_E,||\cdot |{|}_F)$ 连续，只要证：

对任意 $\epsilon =c_2{\epsilon }^{\times }>0$ 存在 $\delta =c_1{\delta }^{\times }>0$ 使得当 $$||x-y|{|}_E<\delta ⟹||x-y|{|}_E^{\times }<{\delta }^{\times }$$ 时，就有 $$\Vert f(x)-f(y){\Vert }_F^{\times }<{\epsilon }^{\times }⟹\Vert f(x)-f(y){\Vert }_F<c_2{\epsilon }^{\times }=\epsilon$$ 成立。（证毕）

定理2-2：范数 $||\cdot ||$ 是向量空间 $E\to \mathbb{R}$ 的连续映射。这种由赋范线性空间到数域的映射亦称泛函。

证明：由范数的不等式：
∣ ∥ x ∥ − ∥ y ∥ ∣ ⩽ ∥ x − y ∥ ( x , y ∈ E ) \begin{equation*} \big\lvert\lVert{x}\rVert-\lVert{y}\rVert\big\rvert\leqslant\lVert{x-y}\rVert\qquad (x,y\in{E}) \end{equation*} ​∥x∥−∥y∥ ​⩽∥x−y∥(x,y∈E)​故对任意 $\epsilon >0$ 存在 $\delta >0$（取$\delta =\epsilon$） 使得当 $||x-y||<\delta =\epsilon$ 时，即有 ∣ ∥ x ∥ − ∥ y ∥ ∣ < ε \big\lvert\lVert{x}\rVert-\lVert{y}\rVert\big\rvert<\varepsilon ​∥x∥−∥y∥ ​<ε 成立。（证毕）

引理2-1：设 $(E,||\cdot |{|}_E),(F,||\cdot |{|}_F)$ 为两个赋范向量空间，$A\subset E,a\in A$，函数 $f$ 是由 $A$ 到 $F$ 的映射，若 $f$ 在 $a$ 处连续，则存在 $M>0,\delta >0$ 使得当 $||x-a|{|}_E<\delta$ 时，就有 $||f(x)|{|}_F<M$ 成立。

证明：由于 $f$ 在 $a$ 处连续，故 :

对任意 $\epsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得当 $||x-a|{|}_E<\delta$ 时，即有 ∣ ∥ f ( x ) ∥ F − ∥ f ( a ) ∥ F ∣ ≤ ∥ f ( x ) − f ( a ) ∥ F < ε ⟹ ∥ f ( x ) ∥ F < ε + ∣ ∣ f ( a ) ∣ ∣ F ≜ M \big\lvert\lVert{f(x)}\rVert_F-\lVert{f(a)}\rVert_F\big\rvert\leq\lVert{f(x)}-{f(a)}\rVert_F<\varepsilon\Longrightarrow\lVert{f(x)}\rVert_F<\varepsilon+||f(a)||_F\triangleq M ​∥f(x)∥F​−∥f(a)∥F​ ​≤∥f(x)−f(a)∥F​<ε⟹∥f(x)∥F​<ε+∣∣f(a)∣∣F​≜M 成立。（证毕）

定理2-3：设 $(E,||\cdot |{|}_E),(F,||\cdot |{|}_F)$ 为两个赋范向量空间，$A\subset E,a\in A$，函数 $f,g$ 均是由 $A$ 到 $F$ 的映射，$\lambda \in \mathbb{R}$，则

   \qquad\quad~~    1) 若 $f$ 与 $g$ 在 $a$ 处连续，则 $(f+g)$ 在 $a$ 处也连续；

   \qquad\quad~~    2) 若 $f$ 在 $a$ 处连续，则 $(\lambda f)$ 在 $a$ 处也连续；

   \qquad\quad~~    3) 设 $\alpha$ 是定义在 $E$ 上的实值函数，若 $f$ 与 $\alpha$ 均在 $a$ 处连续，则 $\alpha f$ 在 $a$ 处也连续；

证明：由已知：

a) 对任意 ${\epsilon }_1>0$ 存在 ${\delta }_1>0$ 使得当 $||x-a|{|}_E<{\delta }_1$ 时，即有 $\Vert f(x)-f(a){\Vert }_F<{\epsilon }_1$ 成立;

b) 对任意 ${\epsilon }_2>0$ 存在 ${\delta }_2>0$使得当 $||x-a|{|}_E<{\delta }_2$ 时，即有 $\Vert g(x)-g(a){\Vert }_F<{\epsilon }_2$ 成立;

c) 对任意 ${\epsilon }_3>0$ 存在 ${\delta }_3>0$ 使得当 $||x-a|{|}_E<{\delta }_3$ 时，即有 ∣ α ( x ) − α ( a ) ∣ < ε 3 \big\lvert{\alpha(x)}-{\alpha(a)}\big\rvert<\varepsilon_3 ​α(x)−α(a) ​<ε3​ 成立；

d) 存在 $M_4>0,{\delta }_4>0$ 使得当 $||x-a|{|}_E<{\delta }_4$ 时，就有 $||f(x)|{|}_F<M_4$ 成立；

e) 存在 $M_5>0,{\delta }_5>0$ 使得当 $||x-a|{|}_E<{\delta }_5$ 时，就有 $|\alpha (x)|<M_5$ 成立

命题1）：对任意 $\epsilon ={\epsilon }_1+{\epsilon }_2>0$，存在 $\delta =\max \{{\delta }_1,{\delta }_2\}>0$，使得当 $$||x-a|{|}_E<\delta ⟹||x-a|{|}_E<{\delta }_1,||x-a|{|}_E<{\delta }_2$$时，便有 ∥ [ f ( x ) + g ( x ) ] − [ f ( a ) + g ( a ) ] ∥ F ≤ ∥ f ( x ) − f ( a ) ∥ F + ∥ g ( x ) − g ( a ) ∥ F < ε 1 + ε 2 = ε \big\lVert[f(x)+g(x)]-[f(a)+g(a)]\big\rVert_F\le\lVert{f(x)}-{f(a)}\rVert_F+\lVert{g(x)}-{g(a)}\rVert_F<\varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon ​[f(x)+g(x)]−[f(a)+g(a)] ​F​≤∥f(x)−f(a)∥F​+∥g(x)−g(a)∥F​<ε1​+ε2​=ε成立。

命题2）可视为 命题3）的特殊情况，故只用证明 命题3）即可：

对任意 $\epsilon ={\epsilon }_1{M}_5+{\epsilon }_{3}M4>0$，存在 $\delta =\max \{{\delta }_1,{\delta }_3,{\delta }_4,{\delta }_5\}>0$，使得当 $$||x-a|{|}_E<\delta ⟹||x-a|{|}_E<{\delta }_1,||x-a|{|}_E<{\delta }_3,||x-a|{|}_E<{\delta }_4,||x-a|{|}_E<{\delta }_5$$时，便有 ∣ ∣ α ( x ) f ( x ) − α ( a ) y ( a ) ∣ ∣ F = ∥   [ α ( x ) f ( x ) − α ( x ) f ( a ) ] + [ α ( x ) y ( a ) − α ( a ) y ( a ) ]   ∥ F ⩽ ∥ α ( x ) f ( x ) − α ( x ) f ( a ) ∥ F + ∥ α ( x ) y ( a ) − α ( a ) y ( a ) ∥ F = ∣ α ( x ) ∣ ⋅ ∥ f ( x ) − f ( a ) ∥ F + ∣ α ( x ) − α ( a ) ∣ ⋅ ∥ y ( a ) ∥ F < ε 1 M 5 + ε 3 M 4 = ε \begin{aligned}||\alpha(x)f(x)-\alpha(a)y(a)||_F &=\big\lVert~[\alpha(x)f(x)-\alpha(x)f(a)]+[\alpha(x)y(a)-\alpha(a)y(a)]~\big\rVert_F\\[3mm] &\leqslant\big\lVert\alpha(x)f(x)-\alpha(x)f(a)\big\rVert_F+\big\lVert\alpha(x)y(a)-\alpha(a)y(a)\big\rVert_F \\[3mm] &=|\alpha(x)|\cdot\big\lVert f(x)-f(a)\big\rVert_F+|\alpha(x)-\alpha(a)|\cdot\big\lVert y(a)\big\rVert_F \\[3mm] &<\varepsilon_1M_5+\varepsilon_3M4 =\varepsilon\end{aligned} ∣∣α(x)f(x)−α(a)y(a)∣∣F​​= ​ [α(x)f(x)−α(x)f(a)]+[α(x)y(a)−α(a)y(a)]  ​F​⩽ ​α(x)f(x)−α(x)f(a) ​F​+ ​α(x)y(a)−α(a)y(a) ​F​=∣α(x)∣⋅ ​f(x)−f(a) ​F​+∣α(x)−α(a)∣⋅ ​y(a) ​F​<ε1​M5​+ε3​M4=ε​成立。（证毕）

推论2-1：设 $(E,||\cdot |{|}_E),(F,||\cdot |{|}_F)$ 为两个赋范向量空间，$A\subset E,a\in A$，则所有在点 $a$ 上连续的映射 $f:A\to F$ 构成的集合是一个向量空间。

结合向量空间的定义，由定理2-3不难得出推论成立。

定理2-4：设 $E,F,G$ 均为赋范向量空间，映射
$$\{\begin{array}{l}f:A\subset E\to F\\ g:B\subset F\to G\end{array}$$若 $f(A)\subset B$，$f$ 在 $a\in A$ 上连续，$g$ 在 $f(a)$ 上连续，那么二者的复合 $g\circ f$ 在 $a$ 上连续。

证明：由于 $g$ 具有连续性，故对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$ ，使得当 $||y-f(a)|{|}_F<\delta$ 时便有 $||g(y)-g(f(a))|{|}_G<\epsilon$ 成立。

又 $f$ 在 $a$ 处连续，故对 $\delta >0$，存在 $\lambda >0$，使得当 $||x-a|{|}_E<\lambda$ 时便有 $||f(x)-f(a)|{|}_F<\delta$ 成立。

那么，对任意 $\epsilon >0$，存在 $\lambda >0$，使得当 $||x-a|{|}_E<\lambda$ 时便有 $||g(f(x))-g(f(a))|{|}_G<\epsilon$ 成立。（证毕）

定理2-5（Heine 定理）：设 $E,F$ 为赋范线性空间，$f:A\subset E\to F:x\mapsto f(x)$，若 $f$ 在 $a\in A$ 上连续的充要条件是：

   \qquad\qquad\qquad\qquad\quad~~   对任意满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$ 的点列 $\left\{x_n\right\}\subset A$，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(a)$。

证明：“$⟹$” 根据 $f$ 的连续性，

任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$ ，使得当 $||x-a|{|}_E<\delta$ 时便有 $||f(x)-f(a)|{|}_F<\epsilon$ 成立。

又由于 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，故

存在 $n_0\in \mathbb{N}$，使得当 $n\ge n_0$ 时便有 $||x_n-a|{|}_E<\delta ⟹||f(x_n)-f(a)|{|}_F<\epsilon$，则
$$\underset{n\to \infty }{\lim }||f(x_n)-f(a)|{|}_F=0⟹\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(a)$$“$⟸$” （反证法）对任意满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$ 的点列 $\left\{x_n\right\}\subset A$，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(a)$，但 $f$ 在 $a$ 处不连续，那么

对任意 $\epsilon ,\delta >0$ 总存在一点 $x\in A$ 使得：虽然 $||x-a|{|}_E<\delta$ 但 $||f(x)-f(a)|{|}_F>\epsilon$。

按照上述结论，不妨依次取 $\delta =\frac{1}{n}$则可对应找到一点列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 ：

对于任意${\epsilon }^{\prime }>0$，存在 $n_0=\lceil \frac{1}{{\epsilon }^{\prime }}\rceil \in \mathbb{N}$，使得当 $n\ge n_0$ 时，$||x_n-a|{|}_E<{\epsilon }^{\prime }⟹$ $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$

同时，对 $\forall n\in \mathbb{N}$，都有 $||f(x_n)-f(a)|{|}_F>\epsilon ⟹$ $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)\ne f(a)$

与条件矛盾，反命题成立。（证毕）