[USACO07DEC] Sightseeing Cows G（分数规划+负权回路判定）

题面

[USACO07DEC] Sightseeing Cows G - 洛谷

题目大意：

给出一张n点m边的带点权带边权的有向图

求一个回路使得路上点权和除以边权和最大（最优比率回路）

题解

首先一定仔细读题，是回路不是路径

由于回路上所有点权只能获取一次，但边权会获取很多次，所以最优解一定是简单回路（无重复边）

然后我们发现是让一个分数最大，于是我们可以考虑分数规划二分

假设二分的商为mid，判断是否存在一个满足点边权和比大于mid的回路，则二分判断条件为

（Vp为最优简单回路的点集，Ep为最优简单回路的边集）

稍微变换一下形式

这个判断条件依旧不好计算，因为我们二分的目的就是为了把最优化问题转换为判断性问题，但是对于该条件，我们除了枚举所有的简单回路，没有任何切入点

转念一想，最后这个大于0似乎暗藏玄机，又和回路联系在一起

不由得让人想到判断图是否存在正权回路（可以直接取相反数转化为判断负权回路）

为了把问题往这个方向转，我们尝试把点权下放到边权

把每条边边权设置为 -(它要通往的点的点权-mid*它原本的边权)

但是这样又会有一个新的问题，如果我们最后选出来的回路是这个样子

这样不就会重复计算点权了吗？

事实上这种情况是不存在的

我们可以感性的证明一下：

出现重复点的简单回路，一定可以拆解成若干初级回路（无重复点、无重复边）

整个回路最终的比率一定不会超过其中比率最大的初级回路（(a+b)/(c+d)<=max(a/c,b/d)，似乎在小学奥数里面叫糖水不等式？）（而且整个回路的比率的分子还会减去重复点的点权）

所以，我们选择一定是选择简单回路里面最优的初级回路

至此，我们就可以下放点权了

愉快地使用SPFA进行负权回路判断

代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 1005
#define M 10005
#define INF 1000000000
int n,m;
int F[N];
struct enode{
	int u,v,w;
}E[M];
int fir[N],to[M],nxt[M],cnt;
double cd[M];
void adde(int a,int b,double c)
{
	to[++cnt]=b;cd[cnt]=c;nxt[cnt]=fir[a];fir[a]=cnt;
}
double dis[N];
int con[N];
bool inq[N];
queue Q;
bool check()
{
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)dis[i]=INF;
	for(i=1;i<=n;i++)con[i]=0;
	for(i=1;i<=n;i++)inq[i]=0;
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(dis[i]==INF){
			dis[i]=0;inq[i]=1;
			Q.push(i);
			while(!Q.empty()){
				int u=Q.front();Q.pop();inq[u]=0;
				for(int p=fir[u];p;p=nxt[p]){
					int v=to[p];
					double w=cd[p];
					if(dis[u]+w=n)return 1;
					}
				}
			}
		}
	}
	return 0;
}
int main()
{
	int i;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&F[i]);
	for(i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w);
	double l=0,r=1000,mid;
	while(r-l>1e-3){
		mid=(l+r)/2;
		cnt=0;
		for(i=1;i<=n;i++)fir[i]=0;
		for(i=1;i<=m;i++)
			adde(E[i].u,E[i].v,-(1.0*F[E[i].v]-mid*E[i].w));
		if(check())
			l=mid;
		else
			r=mid;
	}
	printf("%.2f",l);
}