numpy.linalg.eig 计算方阵的特征值和右特征向量

计算方阵的特征值和右特征向量。

参数：
a : ( …，M，M）数组
将计算特征值和右特征向量的矩阵

返回：
w : ( …，M）数组
特征值，每个都根据其多样性重复。特征值不一定是有序的。结果数组将是复数类型，除非虚部为零，在这种情况下它将被转换为实数类型。当a 是实数时，得到的特征值将是实数（0虚部）或出现在共轭对中

v : ( …，M，M）数组
归一化（单位“长度”）特征向量，使得列v[:,i]是对应于特征值的特征向量w[i]。

举：
LinAlgError
如果特征值计算不收敛。

也可以看看
eigvals
非对称阵列的特征值。
eigh
实对称或复Hermitian（共轭对称）阵列的特征值和特征向量。
eigvalsh
实对称或复Hermitian（共轭对称）阵列的特征值。

笔记

1.8.0版中的新功能。

广播规则适用，请参阅numpy.linalg文档以获取详细信息。

这是使用_geev LAPACK例程实现的，该例程计算一般方阵的特征值和特征向量。

数瓦特是的特征值一个，如果存在一个矢量 v，使得。因此，该阵列一个，瓦特，并且 v满足式 为。dot(a,v) = w * vdot(a[:,:], v[:,i]) = w[i] * v[:,i]我在\ {0，…，M-1 }

特征向量的阵列v可能不具有最大等级，即，一些列可能是线性相关的，尽管舍入误差可能使该事实模糊。如果特征值都不同，那么理论上特征向量是线性无关的。同样，特征向量的（复值）矩阵v是酉如果基质一个是正常的，即，如果，其中AH表示的共轭转置一个。dot(a, a.H) = dot(a.H, a)

最后，需要强调的是v组成的右侧（如右侧）的特征向量一个。载体ÿ满足 某些数目ž被称为左侧 的特征向量一个，并且，在一般情况下，矩阵的左和右本征向量不一定彼此的（可能共轭）调换。dot(y.T, a) = z * y.T

参考

G. Strang，Linear Algebra and Applications，2nd Ed。，Orlando，FL，Academic Press，Inc.，1980，Various pp。

例子

from numpy import linalg as LA

（几乎）具有真实e值和电子矢量的微不足道的例子。

w, v = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
w; v
array([ 1., 2., 3.])
array([[ 1., 0., 0.],
[ 0., 1., 0.],
[ 0., 0., 1.]])

具有复杂e值和电子矢量的真实矩阵; 注意，e值是彼此的复共轭。

w, v = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
w; v
array([ 1. + 1.j, 1. - 1.j])
array([[ 0.70710678+0.j , 0.70710678+0.j ],
[ 0.00000000-0.70710678j, 0.00000000+0.70710678j]])

具有实际e值的复值矩阵（但是复值e向量）; 注意a.conj（）。T = a，即a是Hermitian。

a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
w, v = LA.eig(a)
w; v
array([ 2.00000000e+00+0.j, 5.98651912e-36+0.j]) # i.e., {2, 0}
array([[ 0.00000000+0.70710678j, 0.70710678+0.j ],
[ 0.70710678+0.j , 0.00000000+0.70710678j]])

关于舍入错误要小心！

a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
#Theor. e-values are 1 +/- 1e-9
w, v = LA.eig(a)
w; v
array([ 1., 1.])
array([[ 1., 0.],
[ 0., 1.]])