《信号与系统学习笔记》—通信系统（二）

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、用脉冲串进行载波的幅度调制

一）、脉冲串载波调制

1、另一类重要的幅度调制技术利用的载波信号时一个脉冲串。如下图所示

这种类型的幅度调制相应于等间隔地传输x(t)的时隙样本一般来说，不能期望任何一个信号能够这样一组时隙样本中得到回复。然而，若果x(t)是带限的，并且脉冲重复频率足够高，这就应该是可能的。

2、由上图可见

已调信号y(t)是x(t)和载波c(t)的乘积。若用Y(jw)，X(jw)和C(jw)分别带via哦这些信号的博里叶转换，那么由相乘性质得

因为c(t)是周期的，周期为T，所以C(jw)就是由在频域中像个2π/T的冲激串所组成的，即

其中，wc=2π/T，系数qk就是c(t)的博里叶级数系数

由式(8.23)和式（8.24）可知，Y(jw)就是X(jw)的加权和移位的各部分之和

y(t)的频谱非常类似于由周期冲激串所得到的频谱，唯一的差别在脉冲串的博里叶系数值上。对于脉冲串c(t)，其博里叶系数由式(8.25)给出。这样，只要wc>2wm，X(jw)的周期重读并受ak加权的各部分之间就不会相互重叠，这样就相应于奈奎斯采样定理中的条件。如果这一调教满足，那么就与冲激串采样相同，x(t)可以应用一个戒指频率大于wm，小于wc=wm的低通滤波器从y(t)中恢复出来。

值得注意的是，上述结论对其他各种形状的脉冲载波波形都成立，即如果c(t)的任意具有某博里叶系数ak的，由式(8.24)表示的博里叶变换的周期信号，那么Y(jw)六由式(8.26)给出。然后，只要wc=2π/T>2wm，在Y(jw)中各加权和移位的X(jw)就不会重叠，在直流博里叶系数a0非零的条件下，可以用抵用滤波器的办法将x(t)恢复出来。

二）、时分多路复用

1、利用脉冲串载波的幅度调制常用语在某一信道上传输几路信号。如前所述，已调信号y(t)仅当载波信号c(t)非零时才不为零，而在这个c(t)的间隔内，就能传输其他类似的已调信号。这一过程如图8.25所示

2、在一个单一信道内利用这种技术来实现多路信号就是：每一信号被安排在一组持续期为△的时隙内，该△时隙每隔T秒重复一次，并且它不会与安排给其他撸信号的时隙相重合。△/T的比值越小，在这个信道内能传输的信号路数就越多。这一过程称为是分多路复用。

二、脉冲幅度调制

一）、脉冲幅度已调信号

1、在现代通信系统中，要传输的时这些载波信息x(t)的样本值，而不是那些时隙内的值，但是由于一些实际的问题，在一个通信信道上能传输的最大幅度有限值，这样传输x(t)的冲样本就不实际，而代之以样本x(nT)去调制一脉冲序列的幅度，这样就形成了所谓的脉冲幅度调制系统。

2、利用短型脉冲就相当于采样保持的办法，持续期为△的，幅度正比于x(t)的瞬时样本值得这些脉冲传输出去。对某一给定的重复周期T来说，随着脉冲宽度的减小，在同一通信信道或媒质内就能传输更多的时分多路复用信号。然而，当脉冲宽度减小时，一般就需要增大传输脉冲·的幅度，以使每个脉冲在传输中有一定的能量。除了在能量上考虑外，在设计一个脉冲幅度调制信号时还有其他一些因素要考虑。

二）、脉冲杜甫调制系统中的码间干扰

1、在经由任何实际的信道传输时，这些脉冲由于加性噪声和过滤的影响都会有失真。加性噪声自然会在采样时刻引入幅度误差，而由于信道非理想的频率响应而带来的滤波会招致单个脉冲的变形，这就会引起已接收到的脉冲在时间上相互重合。这种干扰如图8.28所示

并成为码间干扰。

2、码间干扰可能由于信道带框的限制产生的，或者由于非恒定群时延所引起的相位弥漫而产生的。如果码间干扰的产生仅仅是由于信道的有限带宽，那么可以利用一种脉冲行传p(t)来解决问题，它本身是带限的，因此不受(或很少受)信道有限带宽的影响。

三）、数字脉冲幅度调制和脉冲编码调制

1、在很多情况下，数字脉冲幅度调制的量化形式就演变成仅用几个(典型的事两个)幅度值得系统。也就是说没如果[n]的每一个样本表示成一个二进制数(即一串有限个0或1)，那么具有两个可能的值(一个值对应于0，另一个值对应于1)之一的脉冲就可以被被置为这串二进制数中的每一个二进制位，或称比特。

2、一个由编码的0和1的序列所调制的脉冲幅度调制系统就称为脉冲编码调制系统。

三、正弦频率调制

1、一类很重要的调制技术成为频率调制，其中调制信号用来控制一个正弦载波的频率。这种类似的调制系统与幅度调制系统相比有很多优点；

1）、在频率调制下，载波的包络是一个整数。这样，一个频率调制发射机总是可以工作在峰值状态。

2）、在传输信道中由于加性扰动或衰落所引起的幅度变化，能在相当大的范围内在接收机中被消除掉。

3）、频率调制一般比正弦幅度调制要求更宽的信号宽带。

2、引入角调制的一般概念入手来分析频率调制问题，为此考虑一个以下式表示的正弦载波

其中是载波的频率，是载波的相位。一般来说，角调制就是利用信号去改变或使相位发生变化。

1）改变相位的一种方式是利用调制信号x(t)去改变相位，这样已调信号y(t)就为

其中现在是时间的函数，具体而言就是

如果x(t)是阐述，那么y(t)的相位也一定是常数，而且正比于x(t)的大小。式(8.31)的角调制称谓语相位调制。

2）、角调制的另一种方式调制信号线性地变化相角的导数，即

其中

如果x(t)为常数，那么y(t)就是正弦的，其频率相对于载频的偏离量正比于x(t)的大小。为此式(8.33)和式(8.34)这样的角调制一般称为频率调制。

3）、虽然相位调制和频率调制都是角调制的不同形式，但它们能很容易地联系起来，由式(8.31)和式(8.32)，对相位调制来说，有

据此，将式(8.34)和式(8.35)进行比较可得，用x(t)进行相位调制就等于用x(t)得导数dx(t)/dt进行频率调制；同样，用x(t)进行频率调制和用x(t)的积分进行相位调制也完全一样的。

3、瞬时频率

1、对于具有入戏形式的y(t)：

该正弦波的瞬时频率wi定义为

因此y(t)是真正的正弦波时，即，瞬时频率就是wc。对于式(8.31)和式(8.32)表示的相位调制来说，瞬时频率就是而对于由式(8.34)和式(8.35)来说，瞬时频率就是。

一）、窄带频率调制

1、考虑x(t)为正弦变化时的频率调制：

由式(8.34)和式(8.37)可知瞬时频率wi(t)是

wi(t)就在之间作正弦变化。若△w为

就有

并且

其中是一个积分常数。为了方便起见，选=0，则

记△w/wm为m，定义为频率调制的调制指数。根据调制指数m的大小，频率调制系统的性质就会不一样，m较小的系统称为窄带频率调制系统。一般来说，可以将式(8.41)重写成

或者

当m足够小时(<<π/2)，可进行如下近似：

这样式8.42)就变为

根据上式，y(t)的频谱如下图所示

4、虽然上面的推论是在m<<π/2条件下得到的，边带的宽度仍然与调制指数m无关(即，边带宽度仅取决于调制信号的带宽，而与它的大小无关)。即时不是正弦调制信号，而是更一般的调制信号，对窄带调频来说，上述揭露你也是成立的。

二）、宽带频率调制

1、当m增大后，近似式(8.46)不在成立，这时y(t)的频谱和调制信号x(t)的幅度和频率都有关。y(t)的频谱是由在频率的冲激所组成的，并且严格的讲，围绕±wc，y(t)的频谱不是带限的。然而，由于的博里叶级数系数，对于|n|>m的n此谐波的幅度可认为忽略不计，因此在+wc和-wc

，两边每一边带的总有效宽度B还是限于2mwm，即

或者因为，

将式(8.39)和式(8.49)比较可以得出，每一边带的有效带宽就等于在载波频率附近瞬时频率的总偏移值。因此，对宽带频率来说，已调信号的宽带比调制信号的宽带宽得多，因为嘉定m比较大。并且与窄带情况正好形成对照，在宽带调制中已调信号的宽带正比于调制信号的幅度·A和增益系数kf。

三）、周期方波调制信号

1、现在考虑调制信号为一个周期方波的情况。在式(8.39)中令kf=1，则有△w=A，并令x(t)如图8.36所示。

这时已调信号y(t)就如图8.37所示。

当x(t)为正时，瞬时频率就是wc+△w；当x(t)为负时，瞬时频率就是wc-△w。因此y(t)也可写成

其中r(t)就是如图8.38所示的方波

因此，对于这样一个特别的调制信号来说，也能够把确定频率调制信号y(t)的频谱问题当成式(8.50)中的两个幅度调制信号之和的频谱问题，具体而言

其中R(jw)是图8.38所示中周期方波r(t)的博里叶变换，而则是r(t-T/2)的博里叶变换。

2、频率调制信号的解调系统典型地有两种类型，其一是通过微分将频率调制信号变换为幅度调制信号，而第二种类型的解调系统则直接跟周公已调信号的相位和频率。

四、离散时间调制

一）、离散时间正弦幅度调制

1、一个离散时间幅度调制系统如图8.40所示，其中c[n]是载波，x[n]是方波。

现考虑

分别用来代表x[n]，y[n]和c[n]的博里叶变换，那么Y(ejw)就正比于X(ejw)和C(ejw)的周期卷积，即

因为X(ejw)和C(ejw)都是周期的，周期为2π，因此该积分就可以在任何一个2π的频率区间呢完成。

1）、首先考虑为复指数载波的正弦幅度调制

c[n]的博里叶变换是一个周期冲激串，即

若wc=π，那么,，这样在时域调制的结果就是逢奇数n将x[n]改变代数符号；而在频域则是将高低频分量相互交换。

2）、现在考虑正弦载波的情况。这时，若x[n]是实序列，则y[n]也一定是实序列。若载波的频谱就由在w=±wc+k2π的周期重复的冲激对组成。根据频谱，Y(ejw)就相应于X(ejw)在±wc+k2π处重复。为使每一个不重复的X(ejw)不重叠，就要求

和

或等效为

第一个条件连续时间正弦幅度调制的条件是一致的；而第二个条件则来自离散时间频谱固有的周期性质。把式(8.58)和式(8.59)合并，对于正弦载波的幅度调制，wc就必须受如下限制

2、离散时间解调系统如图843所示

将y[n]乘以在调制器中利用的同一载波，结果就等到了原始信号频谱的若干重复，而其中之一实在以w=0位中心处出现的，利用低通滤波器滤掉不需要的X(ejw)重复部分，就可得到已解调的信号。

二）、离散时间调制转换

1、一个数字通信系统如图8.44

一般来说，在这样的系统中，连续时间信号均以采样得到的离散时间信号的形式在通信商进行传输。这些连续时间信号往往是以时分多路复用或频分多路复用的信号方式组成的，然后将这些信号转换为离散时间序列，为了存储和远距离传输的需要，序列值均以数字表示。在某些系统中，由于在发送端或接受端所受的不同限制要求，或者由于已经不同的方式分别被复用的若干信号现在要被重新复用在一起，这样就要求把用时分多路复用表示的信号序列转换到频分多路复用表示的信号序列，或者相反。这种从一种调制或者腹痛方式转换到另一种的过程称为调制转换或复用转换。