RSA加密算法的优化及改进

  RSA加密算法是第一个能同时用于消息传输和数字签名的算法，是目前被研究和使用最广泛的加密算法。

多素数RSA加密算法

基本原理

1.密钥生成阶段
Step 1. 随机选择多个数值不同的强素数$p_1,p_2,\cdots p_n$;
Step 2.计算模数 $N=p_1\times p_2\cdots \times p_n$;
Step 3. 计算模数$N$的欧拉函数$\phi (N)=(p_1-1)\times (p_2-1)\cdots \times (p_n-1)$;
Step 4. 随机选取一个正整数$e$作为公钥，公钥满足尽可能大，$1<e<\phi (N)$且$gcd(e,\phi (N))=1$;
Step 5. 根据$ed\equiv 1(mod\phi (N))$，求得$e$关于$\phi (N)$的模逆元素，即，私钥$d$。
在密钥生成过程结束后，可获得公钥$(e,N)$和私钥$(d,N)$。将公钥发送给所有需要进行通讯的对象，保密$p_1,p_2,\cdots p_n$和$\phi (N)$。私钥由持有者保管好，防止泄露造成攻击。
2.明文消息$M$加密阶段
$$C=M^{e}modN$$
3.密文消息$C$解密阶段
$$M=C^{d}modN$$

效率分析

  运用多素数RSA加密算法进行解密时需要进行$s$次指数长度为$n/s$ bit位的指数运算。传统RSA加密算法再使用BR算法计算时时间复杂度为$O(log(d)lo{g}^2(n))$， 当$d$很大与$n$同数量级时，复杂度可以认为是$O(lo{g}^3(n))$。在效率提高的倍数为：$\alpha =lo{g}^3(n)/lo{g}^3(n/s)$。

基于中国剩余定理的RSA解密算法

  在使用RSA加密算法对密文消息进行解密时采用中国剩余定理。首先，将RSA加密算法中的解密运算由计算模数$N$的指数形式转化为求解用于方程组的形式，这样可以利用扩展欧几里得算法或利用中国剩余定理进行求解。

定理1 中国剩余定理的推论 设$p_1,p_2,\cdots p_s$是$s$个两两互质的正整数，$p=p_1{p}_2\cdots p_s$，则同余式$f(x)\equiv 0(modp)$和同余式方程组$f(x)\equiv 0(mod{p}_i)i\in \{1,2,\cdots ,s\}$等价。

  对于RSA加密算法解密过程中的运算 $M=C^{d}modN$，由于合法的接收方拥有私钥$(d,N)$，并且已知模数 $N=pq$，因此根据定理1可将RSA加密算法的解密过程由计算模数$N$的指数运算转换为计算素数$p$和$q$的同余方程组。
$$\begin{gathered} M_1=C^{d}modp \\ {M}_2=C^{d}modq \end{gathered}$$

   利用费马小定理以及同余式具有的性质。令$r=d(modp-1)$，即，$d=k(p-1)+r$。
$$M_1=C^{k(p-1)+r}(modp)=C^{k(p-1)}{C}^r(modp)=1^k{C}^r(modp)$$
即，$M_1=C^{dmod(p-1)}(modp)=(Cmodp{)}^{dmod(p-1)}(modp)$。
同理$M_2=C^{dmod(q-1)}(modq)=(Cmodq{)}^{dmod(q-1)}(modq)$。

$$\begin{gathered} M_1=(Cmodp{)}^{d_1}(modp) \\ {M}_2=(Cmodq{)}^{d_2}(modq) \end{gathered}$$
其中，$d_1=dmod(p-1)$，$d_2=dmod(q-1)$

基于中国剩余定理对多素数RSA加密算法的优化

   对于多素数RSA加密算法，在解密过程中利用中国剩余定理对解密方式进行优化加快解密速度。

算法：中国剩余定理简化多素数RSA解密算法
输入：密文消息 $C$
输出：明文消息$M$
Step 1. 计算$d_{p_1},d_{p_2},\cdots d_{p_n}$
$$\{\begin{array}{rl}{d}_{p_1}& =dmod(p_1-1)\\ d_{p_2}& =dmod(p_2-1)\\ & \cdots \\ d_{p_n}& =dmod(p_n-1)\end{array}$$
Step 2.计算$C_{p_1},C_{p_2},\cdots C_{p_n}$
$$\{\begin{array}{rl}{C}_{p_1}& =Cmod{p}_1\\ C_{p_2}& =Cmod{p}_2\\ & \cdots \\ C_{p_n}& =Cmod{p}_n\end{array}$$

Step 3.计算$M_{p_1},M_{p_2},\cdots M_{p_n}$
$$\{\begin{array}{rl}{M}_{p_1}& =C_{p_1}^{d_{p_1}}mod{p}_1\\ M_{p_2}& =C_{p_2}^{d_{p_2}}mod{p}_2\\ & \cdots \\ M_{p_n}& =C_{p_n}^{d_{p_n}}mod{p}_n\end{array}$$

Step 4. 计算$M$
$$M=((M_{p_1}{M}_1^{p_1-1})(modN)+\cdots +(M_{p_n}{M}_n^{p_n-1})(modN))(modN)$$

Python 实现

包含以下文件
传统RSA实现：
1、ZIntMath：大整数的运算库，包括计算乘模运算，幂模运算（蒙哥马利算法），最大公约数算法及扩展最大公约数算法（扩展欧几里得算法）等。
2、ZPrime：质数库，包括 Miller_Rabin素数判断法，大整数快速因式分解算法（pollard_rho算法），生成指定位数的大质数或大整数算法等。
3、ZRSA: RSA算法库，使用上面两个库，实现RSA算法。实现了生成指定数位的密钥对，加密，解密，签名和验证，这5个核心功能。
4、RSAtest.py一个使用RSA算法库的例子。例子从生成密钥对开始，对数据进行加解密，签名和验证签名，最后用修改后的消息再次验证签名。
改进RSA算法实现：
5、IRSA：改进的RSA算法库，实现了基于多素数的指定数位的密钥对，RSA加密，RSA解密，基于中国剩余定理的RSA解密，签名，验签。
6、IRSAtest.py 使用改进RSA算法库的例子。
具体Python代码见多素数及中国剩余定理改进RSA的Python实现

运行结果如下：

图1. 改进RSA算法的Python运行结果图