多源最短路径算法:Floyd-Warshall算法分析

图的邻接矩阵

namespace Graph_Structure
{
	//Vertex是代表顶点的数据类型,Weight是边的权值的数据类型,MAX_W是权值的上限值(表示不相两)
	//Direction表示图是否为有向图
	template<class Vertex, class Weight = int, Weight MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
	class Graph
	{
		typedef Graph<Vertex, Weight, MAX_W, Direction> Self;
	public:
		//使用编译器的默认构造函数
		Graph() = default;

		//给定一个存放顶点的数组用来初始化图
		Graph(const Vertex* a, size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			_indexMap.rehash(n);
			_matrix.resize(n, std::vector<Weight>(n, MAX_W));
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				_vertexs.push_back(a[i]);
				//建立顶点和数组下标的映射(目的是为了邻接矩阵的边存储)
				_indexMap[a[i]] = i;
			}
		}

		//获取顶点在邻接矩阵中对应的下标
		size_t GetVertexIndex(const Vertex& vertex)
		{
			if (_indexMap.find(vertex) == _indexMap.end())
			{
				throw "invalued_para";
				return -1;
			}
			return _indexMap[vertex];
		}


		void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const Weight& w)
		{
			//判断是有向图还是无向图
			if (Direction == false)
			{
				_matrix[dsti][srci] = w;
			}
			_matrix[srci][dsti] = w;
		}
		//给定起点和终点,在邻接矩阵中添加一条边
		void AddEdge(const Vertex& src, const Vertex& dst, const Weight& w)
		{
			if (_indexMap.find(src) == _indexMap.end() || _indexMap.find(dst) == _indexMap.end())
			{
				throw "invalued_para";
			}

			size_t srci_index = GetVertexIndex(src);
			size_t dst_index = GetVertexIndex(dst);
			_AddEdge(srci_index, dst_index, w);
		}
		
		//将图的邻接矩阵打印出来
		void Print()
		{
			for (auto e : _vertexs)
			{
				std::cout << e << '[' << _indexMap[e] << ']' << std::endl;
			}

			std::cout << "     ";
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				std::cout << i << "    ";
			}
			std::cout << std::endl;


			int i = 0;
			for (auto arry : _matrix)
			{
				std::cout << i++ << ' ';
				for (auto e : arry)
				{
					if (e == MAX_W)
					{
						printf("%4c ", '*');
					}
					else
					{
						printf("%4d ", e);
					}
				}
				std::cout << std::endl;
			}
		}

		//图的广度优先遍历
		void BFS(const Vertex& src)
		{
			size_t begin = GetVertexIndex(src);
			std::queue<int> QNode;
			std::vector<bool> Label(_vertexs.size(), false);
			QNode.push(begin);
			Label[begin] = true;
			size_t Level = 0;
			while (!QNode.empty())
			{
				size_t LevelSize = QNode.size();
				for (size_t i = 0; i < LevelSize; ++i)
				{
					size_t front = QNode.front();
					QNode.pop();
					std::cout << _vertexs[front] << '[' << front << ']' << std::endl;
					for (int j = 0; j < _vertexs.size(); ++j)
					{
						if (Label[j] == false && _matrix[front][j] != MAX_W)
						{
							QNode.push(j);
							Label[j] = true;
						}
					}
				}
			}
		}
		
		//图的深度优先遍历
		void DFS(const Vertex& src)
		{
			std::vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
			_DFS(GetVertexIndex(src), visited);
		}
	private:
		void _DFS(size_t srci, std::vector<bool>& visited)
		{
			visited[srci] = true;
			std::cout << _vertexs[srci] << '[' << srci << ']' << std::endl;
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)
				{
					_DFS(i, visited);
				}
			}
		}
	private:
		std::vector<Vertex> _vertexs;						// 顶点集合
		std::unordered_map<Vertex, size_t> _indexMap;		// 顶点映射下标
		std::vector<std::vector<Weight>> _matrix;			// 邻接矩阵
	};
}

在有向赋权图中(可以存在带负权值的路径,但不能存在总权值为负数的环路),Floyd-Warshall算法可以求出任意两个顶点间的最短路径

一.Floyd-Warshall算法思想(基于动态规划)

• 假设图中有N个顶点,顶点按照0~N-1进行编号

• 算法中使用二维数组Dist来记录点与点之间的最短路径长度,Dist[i][j]表示第i个顶点到第j个顶点的最短路径长度,Dist数组的初始状态为图的邻接矩阵的拷贝

• 任意两个顶点i和j之间的最短路径上可能存在0 ~ N-2个顶点:

• 假设顶点i到顶点j的最短路径上编号最大的顶点为k顶点,i到k之间的路径为p1,k到j之间的路径为p2(不难证明,p1同时也是顶点i到顶点k的最短路径,p2同时也是顶点k到顶点j的最短路径)

• 从而有状态转移方程: Dist[i][j] = Dist[i][k] + Dist[k][j]

• 最短路径p1和p2也可以按照相同的方式划分出子路径.重复路径划分,直到将路径划分成不能再被分割的各个最小状态,从各个最小状态开始进行状态转移就可以得到顶点i到顶点j的最短路径.

• 状态转移求任意两点的最短路径的过程可以通过如下循环完成:

			//动态规划求最优解
			for (int k = 0; k < _vertexs.size(); ++k)
			{
				for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
				{
					for (int j = 0; j < _vertexs.size(); ++j)
					{
						if (Dist[i][k] != MAX_W && Dist[k][j] != MAX_W &&
							Dist[i][k] + Dist[k][j] < Dist[i][j])
						{
							Dist[i][j] = Dist[i][k] + Dist[k][j];
						}
					}
				}
			}

• 其他任意两点的最短路径的确定过程也是类似的

二.Floyd-Warshall算法接口

		//多源最短路径算法(允许带负权路径存在)
		//Dist数组用于记录顶点间的最短路径的长度
		//ParentPath数组用于记录最短路径上某个顶点的前驱结点编号
		void FloydWarShall(std::vector<std::vector<Weight>>& Dist, std::vector<std::vector<int>>& ParentPath)
		{
			Dist.resize(_vertexs.size(), std::vector<Weight>(_vertexs.size(), MAX_W));
			ParentPath.resize(_vertexs.size(), std::vector<int>(_vertexs.size(), -1));

			//根据图的邻接矩阵初始化Dist数组
			for (int i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
			{
				for (int j = 0; j < _matrix.size(); ++j)
				{
					if (i == j)
					{
						Dist[i][j] = 0;
					}
					else if(_matrix[i][j] != MAX_W)
					{
						Dist[i][j] = _matrix[i][j];
						ParentPath[i][j] = i;
					}
				}
			}

			//动态规划求各个最短路径
			for (int k = 0; k < _vertexs.size(); ++k)
			{
				for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
				{
					for (int j = 0; j < _vertexs.size(); ++j)
					{
						if (Dist[i][k] != MAX_W && Dist[k][j] != MAX_W &&
							Dist[i][k] + Dist[k][j] < Dist[i][j])
						{
							Dist[i][j] = Dist[i][k] + Dist[k][j];
							//i到j最短路径上,j顶点的前驱为k到j最短路径上j的前驱
							ParentPath[i][j] = ParentPath[k][j];
						}
					}
				}
			}
		}

笔记附录:单源最短路径–Bellman-Ford算法

• Bellman-Ford算法可以在带负权路径的图中求解单源最短路径的问题
• 一维数组Dist用于记录源点到其他顶点的最短路径的长度:Dist[i]表示源点到i号结点的最短路径长度
• 一维数组ParentPath数组用于记录最短路径上某个顶点的前驱结点编号:ParentPath[i]表示在最短路径上,第i号结点的前驱结点的编号

1.Bellman-Ford算法接口核心部分

			for (int i = 0; i < _vertexs.size() - 1; ++i)
			{
				for (int j = 0; j < _vertexs.size(); ++j)
				{
					for (int k = 0; k < _vertexs.size(); ++k)
					{
						if (_matrix[j][k] != MAX_W && dist[j] != MAX_W &&
							_matrix[j][k] + dist[j] < dist[k])
						{
							dist[k] = _matrix[j][k] + dist[j];
							parentPath[k] = j;
						}
					}
				}

• 可以证明:上面的循环可以遍历任何一条可能存在的最短路径.对于任意一条最短路径,内部的双层循环至少可以记录下最短路径上的一条边,因此最外层循环只要进行N-1次(N为图的顶点数目)就可以遍历完所有的最短路径:
• Bellman-Ford算法需要检验图中是否存在总权值为负数的环路,存在总权值为负数的环路的图无法求解最短路径问题

2.Bellman-Ford算法接口

		//带负权路径的单源最短路径算法
		bool BellmanFord(const Vertex& src, std::vector<Weight>& dist, std::vector<int>& parentPath)
		{
			dist.resize(_vertexs.size(), MAX_W);
			parentPath.resize(_vertexs.size(), -1);

			int srci = GetVertexIndex(src);
			dist[srci] = Weight();
			bool flag = true;
			for (int i = 0; i < _vertexs.size() - 1; ++i)
			{
				for (int j = 0; j < _vertexs.size(); ++j)
				{
					for (int k = 0; k < _vertexs.size(); ++k)
					{
						if (_matrix[j][k] != MAX_W && dist[j] != MAX_W &&
							_matrix[j][k] + dist[j] < dist[k])
						{
							//经过j结点,更新源点到k结点的路径长度
							dist[k] = _matrix[j][k] + dist[j];
							parentPath[k] = j;
							flag = false;
						}
					}
				}
				if (flag)
				{
					//路径不再发生更新,则说明所有最短路径都已经确定
					return false;
				}
				flag = true;
			}

			//检验图中是否存在负权环路
			//如果存在负权环路,则Dist数组会继续被更新
			flag = false;
			for (int j = 0; j < _vertexs.size(); ++j)
			{
				for (int k = 0; k < _vertexs.size(); ++k)
				{
					if (_matrix[j][k] != MAX_W && dist[j] != MAX_W &&
						_matrix[j][k] + dist[j] < dist[k])
					{
						dist[k] = _matrix[j][k] + dist[j];
						flag = true;
					}
				}
			}
			return flag;
		}