LeetCode494. 目标和

494. 目标和

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一、题目

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

二、题解

方法一：目标和路径计数算法

思考过程可以分为以下几步：

1. 问题拆解： 首先，将问题拆解为更小的子问题。在这个问题中，我们可以将目标和问题拆解为在给定数组中选择一些数字，使得它们的和等于目标值。

2. 状态定义： 确定动态规划的状态。在这个问题中，我们可以考虑使用二维数组 dp[i][j] 表示在前 i 个数字中，和为 j 的表达式的数量。

3. 状态转移方程： 找到状态之间的转移关系。这是动态规划问题的核心。在这个问题中，对于每个数字 nums[i]，我们有两种选择：添加正号或者添加负号。因此，状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i]] + dp[i-1][j+nums[i]]，即前 i-1 个数字和为 j-nums[i] 的表达式数量加上前 i-1 个数字和为 j+nums[i] 的表达式数量，最后的数字是dp[i][j] = dp[i-1][abs(j-nums[i])] + dp[i-1][j+nums[i]]，因为如果j < nums[i]，我们是可以通过dp[i-1][nums[i]-j]得到dp[i][j]的。举个例子，如图，为什么dp[2][0] = 2？图中已经说明白了。

4. 边界条件： 根据问题的实际情况，确定边界条件。在这个问题中，我们可以从第一个数字开始考虑，初始化 dp[0][j]，表示只有一个数字时，和为 j 的表达式数量。

5. 问题求解： 根据状态转移方程和边界条件，从小问题逐步求解到原问题。填充二维数组 dp，最终 dp[nums.size()-1][abs(target)] 就是我们要的答案，表示在所有数字中，和为 target 的表达式数量。

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        // 定义一个二维数组 dp，大小为 (nums.size(), 2001)，其中 dp[i][j] 表示在前 i 个数字中，和为 j 的表达式数量
        vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(2001, 0));
        
        // 初始化：处理只有一个数字的情况
        for(int i = 0; i <= 1000; i++){
            if(nums[0] == i){
                if(nums[0] == 0) dp[0][i] = 2;  // 对于数字 0，可以有正号或负号
                else dp[0][i] = 1;
            }
        }
        
        // 填写 dp 数组
        for(int i = 1; i < nums.size(); i++){
            for(int j = 0; j <= 1000; j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][abs(j-nums[i])] + dp[i-1][j+nums[i]];  // 根据状态转移方程计算 dp[i][j]
            }
        }
        
        return dp[nums.size()-1][abs(target)];  // 返回在所有数字中，和为 target 的表达式数量
    }
};

方法二：01背包

01背包问题通常是这样的：给定一组物品，每个物品有重量和价值，我们要选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总重量不超过背包的容量，同时最大化物品的总价值。

在这道题中，我们可以将正数部分和负数部分（前面是加号的和前面是减号的）的数字分别看作两组物品。正数部分的数字相当于具有正的价值，负数部分的数字相当于具有负的价值。

具体步骤如下：

1. 将数组 nums 拆分成两个子数组：add 和 minus。add 包含所有正数部分的数字，minus 包含所有负数部分的数字。

   我们可以得到add-minus = target，add+minus = sum，从而根据这两个式子得出(sum+target)/2 = add。

2. 使用01背包的思想：这个问题就转化成了所有数字凑成add这个数的方法。即背包容量是add，物品是nums数组里的所有元素。

3. 使用动态规划来解决问题：我们创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在考虑前 i 个物品时，总和等于 j 的方法数。

   • 初始化 dp[0][0] 为 1，因为当没有物品可选时，总和为 0 是唯一的一种方式；但如果nums[0] = 0，还有一种方式就是只取nums[0]，则有两种方式。
   • 对于其它物品 nums[i]，我们根据以下规则更新 dp[i][j]：
     • 如果 j >= nums[i]，那么我们可以选择是否将 nums[i] 放入背包，dp[i][j]等于不放入背包和放入背包方式的总和，即 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]。
     • 如果 j < nums[i]，则nums[i]不可以放入背包dp[i][j] = dp[i-1][j]。

4. 最终的答案是 dp[nums.size()-1][add]，表示在考虑所有物品后，总和等于 add 的方法数。

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        // 计算数组nums的总和
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
            sum += nums[i];
        }
        // 如果总和与目标值之和为奇数，或者总和小于目标值的绝对值，则无解，返回0
        if((sum + target) % 2 == 1 || sum < abs(target)){
            return 0;
        }
        // 计算要构造的正数部分和，这是01背包问题中的背包容量
        int add = (sum + target) / 2;
        // 创建二维动态规划数组dp
        vector<vector<int>> dp(nums.size(),vector<int>(add+1, 0));
        
        // 初始化dp数组
        for(int i = 0; i <= add; i++){
            // 如果i等于第一个数字nums[0]，表示可以用第一个数字构造和为i的方式有1种
            if(i == nums[0]){
                dp[0][i] = 1;
            }
        } 
        // 特殊情况处理
        if(nums[0] == 0) dp[0][0] = 2;
        // 普通情况：当没有物品可选时，总和为 0 是唯一的一种方式
        else dp[0][0] = 1;
        
        // 填写dp数组
        for(int i = 1; i < nums.size(); i++){
            for(int j = 0; j <= add; j++){
                // 如果当前数字nums[i]大于目标和j，无法用当前数字构造
                if(nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i-1][j];
                // 选择是否将 `nums[i]` 放入背包，`dp[i][j]`等于不放入背包和放入背包方式的总和
                else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]];
            }
        }
        // 返回最终的结果，即在考虑所有数字后，构造和为add的方法数
        return dp[nums.size()-1][add];
    }
};

方法三：01背包一维数组

具体细节就是初始化这里，这个dp[0] = 1相当于是按照结论推初始化（因为按照二维的初始化方式是错误的），最好还是去理解一下二维的吧……

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) { 
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(target) > sum) return 0; 
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; 
        int add = (target + sum) / 2; 
        vector<int> dp(add + 1, 0); 
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = add; j >= nums[i]; j--) { 
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[add]; 
    }
};