拉格朗日插值

【模板】拉格朗日插值

正交多项式。记 $f_i(x)$ 表示满足 $x=x_i$ 时 $y=y_i$ 且 $x=x_j$ 时 $y=0$ 的关于 $x$ 的多项式。最终答案就是 ${\sum }_{i=1}^n{f}_i(x)$。

考虑如何构造 $f_i(x)$。容易想到构造 ${\prod }_{j\ne i}(x-x_j)$ 的形式。此时满足 $(x_i,y_i)$ 限制即可，容易得出 $f_i(x)=\frac{{\prod }_{j\ne i}(x-x_j)}{{\prod }_{j\ne i}(x_i-x_j)}$。

将 $x=k$ 代入即可。代码。

CF622F The Sum of the k-th Powers

观察到 ${\sum }_{i=1}^n{i}^k$ 是一个关于 $n$ 的 $k+1$ 次多项式，需要 $k+2$ 对关系以确定多项式。

注意到 $x_i=i$，预处理阶乘、$(n-i)$ 的前后缀积即可。代码。