线性dp
动态规划时间复杂度分析,状态数目与状态转移次数相乘。
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 510;
int n,ans;
int a[maxn][maxn],f[maxn][maxn];
int main(){
cin>>n;
for(int i=0;i<=n;i++){
for(int j=0;j<= n+1;j++)
f[i][j] = 0x3f3f3f3f * -1; //初始化f处理边界问题
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
f[1][1] = a[1][1];
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
f[i][j] = max(f[i-1][j-1]+a[i][j],f[i-1][j]+a[i][j]);
}
}
ans = -1 * 0x3f3f3f3f; //第n层找最优
for(int i=1;i<=n;i++) ans = max(ans, f[n][i]);
cout<<ans;
return 0;
}
时间复杂度,总共n2个状态,对于每个状态转移计算一次,复杂度为n2.
最长上升子序列
以集合的观点分析。对于状态而言,一般从低维到高维考虑。
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n,a[maxn],f[maxn];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++) f[i] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
if(a[j]>=a[i]) continue;
f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
}
}
int ans = 0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans = max(ans,f[i]);
}
cout<<ans;
return 0;
}
时间复杂度分析,状态数量为n,每次状态转移计算n次。复杂度为n2.
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n,m;
char a[maxn],b[maxn];
int f[maxn][maxn];
int main(){
cin>>n>>m;
scanf("%s%s",a + 1,b + 1);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(a[i] == b[j]) f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1;
else{
f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i-1][j]);
}
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
/* 对于状态转移,当a[i] == b[j],f[i][j]由f[i-1][j-1]转移而来
不相等时,通过f[i-1][j]与f[i][j-1]转移而来
*/
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 310,inf = 0x3f3f3f3f;
int n;
int a[maxn],s[maxn],f[maxn][maxn];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) s[i] = s[i-1] + a[i];
for(int len = 2;len <= n;len++){
for(int l = 1;l + len -1 <= n;l++){
int r = l + len -1;
f[l][r] = inf;
for(int k = l;k < r;k++){
f[l][r] = min(f[l][r],f[l][k]+f[k + 1][r] + s[r]-s[l-1]);
}
// for(int i=1;i<=n;i++)
// {
// for(int j=1;j<=n;j++)
// cout<
// cout<
// }
// cout<
}
}
cout<<f[1][n]<<endl;
return 0;
}
对于区间类dp而言,构造结果表的方式不同于线性dp.简单来说,先枚举区间长度,再枚举区间的起点和终点。
整数划分
可以用完全背包的角度,看待这个问题。总数n相当于体积为n的背包,数字1-i相当于每件物品的体积为1-i。每件物品数量无限。
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1010,mod = 1e9 + 7;
int n;
int f[maxn];
//f[i,j] = f[i-1,j] + f[i,j-i];
int main(){
cin>>n;
f[0] = 1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j++){
f[j] = (f[j] + f[j-i]) % mod;
}
}
cout<<f[n];
return 0;
}
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1010,mod = 1e9 + 7;
int n;
int f[maxn][maxn];
int main(){
cin>>n;
f[1][1] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
f[i][j] = (f[i-1][j-1] + f[i-j][j]) % mod;
}
}
int ans = 0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans = (ans + f[n][i]) % mod;
}
cout<<ans;
return 0;
}