1+1=2

        早在公元前3000年，巴比伦人和古埃及人就开始使用算术，用代数和几何来进行税收和其他财务计算，公元前600年至公元前300年，古希腊人开始用希腊数学进行系统的数学研究，数学在自然科学、工程、医学、金融和社会科学等许多领域都是必不可少的。

        人类的历史能发展到现在这样和数学有着密不可分的联系，著名的数学王子高斯把数学称为科学的女王，但是一提到数学，人们不是大惊失色，就是肃然起敬。仿佛数学离我们非常遥远，毫无吸引力，非常无聊是当人们描述数学时最常见的表现。其实数学不仅是有用的，还是有趣的。苹果砸到牛顿头上，让他发现了万有引力定律。这个故事虽然来源于文学家的创作，但人类从不会计数到用方程来做想做的事情，这中间发生了太多有趣的事情。比如在世界文明还交流不畅的年代，每一个文明都有自己的计数方式，古巴比伦人用的就不是现在的10进制，而是60进制；面对三角形问题，中国西周时期的人们提出了勾股定理，而古希腊人则用毕达哥拉斯定理来解决它，甚至美国的第20任总统都还在对这个定理进行证明。在简单的等式符号背后，是人类举着好奇心火把的发现之旅，好奇和兴趣原本就属于数学的。今天我们应该把这些都还给它。

        假如我们不会计数，把1+1=2这个问题拿给不同的人去看，必然会得到不同的答案，让我们姑且把答案分为否定和肯定两种类型好了。如果去问问已经接受过启蒙教育的小朋友们，这个问题看起来就会十分愚蠢了，因为小朋友们很可能会回答，他知道1+1=2，也知道怎么从1数到10，他甚至能数到100，老师刚在课堂上讲过，十分简单，他肯定不会把这个公式当成伟大发现，但如果是去问数学家呢？数学家一定会告诉你，这个公式十分伟大，因为它代表人类已经掌握了计数的本领，可以说让我们在数学考试中十分头疼的一切难题都从人类掌握计数之后才开始的。我们现在无法想象，如果没有计数的能力，数学中一切抽象而复杂的内容要通过什么方式去表达。或许我们可以做一些尝试，尝试一下，如果人类没有计数能力会出现什么样的事情呢？让我们从伸出自己的双手开始好了，你一定在猜测我想问什么，你的手总共有几根手指？或许你蒙对了，真的在不知道双的概念时，就伸出了两只手。那么你能回答你的手总共有几根手指这个问题吗？还是不能，因为你不会计数啊！我们可以大胆想象，如果不会计数，那么数量词这种东西也不应该存在于世。如此一来，几根手指中的“根”就只能代表植物茎秆下部长在土里的部分或者事物的本源之类的意思。并不能作为描述长条状物体数量的量词出现。至于说几根手指中的“几”，也会被削减很多意思了，毕竟你并不具有计数能力。那么几这个数里询问数量多少的疑问词的意义也会消失不见。这实在是太可怕了。如果没有计数能力，别说是数学不会有什么发展，就连语言文字都会变得一塌糊涂。我们如何掌握计数？提到这个问题，刚刚可能还对1+1=2的重要性讲得眉飞色舞的数学家们就无法给出一个令人满意的答案了。因为到现在为止，我们无法考证人类是从何时开始第一次使用计数能力的。正因为如此，我们也很难知道人类真正掌握计数能力的原因，或许可以这样理解，数字并不是人类发明创造出来的，而是如同原子、引力这类东西一样，原本就存在于自然界当中。我们不是创造了它，只是在运用它罢了，之所以会有这样的想法，是因为不光人类掌握着计数能力，很多动物也有着类似的本领，先从灵长类动物说起，2010年的一项研究指出，经过训练的猕猴可以在屏幕上把不同的数点结合起来做加法运算，并能得出正确的和数。这些猕猴的计算准确率高达76%，远远高于靠瞎蒙乱猜得出的准确率，另外，黑猩猩在经过训练之后，也能认识和运用数学符号，这种能力在之前一直被认为只有人类才具有。如果说动物经过训练掌握了计数能力还是在人类的干涉之下完成的，那么有些动物天生具备的计数能力就令人十分惊叹了。比如，蜜蜂，它们能够数出4种包含元素的图案帮助它们顺利记住食物的来源，在复杂的环境当中生存下去。人类为了掌握计数都做了啥？虽然我们现在无法判断人类是从什么时候开始掌握计数能力，不过依然有一些考古发现可以帮助我们去理解远古人类对计数的认知。1960年，比利时的地质学家在刚果民主共和国境内发现了一些刻着线的骨头，这些骨头来自狒狒，上面的刻痕数量繁多，最开始是被认为当时的人们用来简单记事的，但数学家们认为这些有着22000年历史的骨骸拥有着丰富的数学意义，远远不是用来记事这么单纯，以其中一根骨骸上的刻痕为例，上面的刻痕从3变成了6，从4变成了8，从10变成了5，这很可能说明当时的人们不仅有了计数的概念，同时也有了加倍减半的想法，换句话说，如果有人能够带着一副扑克，穿越回那个时代，同样能和当时的人一起玩斗地主，因为当时的人类已经能够喊加倍抢地主了，更令人惊讶的是，除了加倍和减半的概念之外，当时的人们很有可能对基本的偶数以及质数有了一定的认识，比如在某一根骨骸上面刻痕是9，11，13，17之类的奇数，而有的骨骸上包含了10到20之间所有的质数，除此之外，考古学中还发现更早的骨头上有20个刻痕，虽然学者们还无法真正搞明白这类骨骸到底有什么作用，不过有人猜测说这是用来记录阴历的工具，有了刻痕计数，距离人类真正掌握计数本领还有一段距离，为何这么说呢？从我们很多人都在儿时听过的《奈何姓万》的故事开始说起，这则故事中说，一位有钱的财主，他家的人世世代代都不识字，财主觉得这样不好，就聘请老师给自己的儿子上课，这个老师就从最简单的字教起，在纸上写了一划，教他说这个字念“一”，在纸上写了两划，教他说这个字念“二”，在纸上写了三划，教他说这个字念“三”，这时财主的儿子感到很高兴，原来写字这么简单呀！于是就把笔一丢，对他的父亲说我已经学会了，他的父亲也很开心，依着儿子把老师给辞退了。不久以后，财主准备找他的姓万的朋友来吃饭，让他的儿子早上起床写个请帖，过了很久还没有写成，财主就去催促儿子，没想到儿子生气的说，天下的姓氏那么多，干嘛非要姓万不可，我从一大早就开始写到现在，才写完五百划。这则故事教育我们不要学了一点点东西就自以为了不起，更不要浅尝辄止。除去这个意义之外，我们还可以从这个故事里发现一些数学上的意义，财主的儿子掌握了一，就如同几万年前的人类掌握了用一道刻痕来计数一样，我们有十根手指，好的，现在你有计数的本领了，终于可以数清楚你有几根手指了。数到十也没什么问题，可是当数字达到万的时候，无论是刻痕，还是手指就不那么方便了。从一到万，数字怎样才能有更好的表达方式呢？换个位置，换个意义。我们先来看看古巴比伦人是怎么应对的？为了表达更大的数字，古巴比伦人创造性的将数字列成排，让数字的位置和数字本身同时拥有了同样重要的意义，和我们现在习惯使用的十进制不同，古巴比伦人用的是六十进制，当时他们通过线形文字来表达数字，一个纵向的心形表示一，好几个这样的组合起来可以表示二到九，接下来他们有创造了一个横向的粗线形来表示10，多个10的线形符号合起来可以表示20、30、40和50，通过这些符号数字1到59就可以书写下来了。这听起来似乎没什么大不了的，真正有趣的是发生在古巴比伦人记录60的时候，当表示60这个数字的时候，他们并没有在用6个10的符号来表示组合，而是在左边写出新的一列，写入数字1的符号来表示这和我们今天用来表示10的方法非常类似，我们并没有用新的符号去表示，而是把1放在左边，赋予了它新的意义：10个1，这就是所谓的位置计数法，它通过让数字呆在不同的位置用来表达出更加复杂庞大的数值。当古巴比伦人用60进制来计数的时候古印度人用10进制来作为通用的数字系统，和我们今天一样，换句话说，这个系统的数字以10为进制，逢10进1，顺便告诉大家，古印度人不仅是使用10进制的先驱，也是我们闲杂常用的阿拉伯数字的发明者，这听起来似乎有点名不副实，但事实上这套数字最早是由古印度人发明的，后来由阿拉伯人代入欧洲，它与罗马数字共存于欧洲长达数个世纪之久，因为书写简便等原因，逐渐成为主流，直到15、16世纪，随着印刷技术的逐渐发展，熟悉的人越来越多，书写也越来越标准化，这套数字才定个成我们现在看到的模样。