算法通关村第11关【青铜】| 位运算基础

1.数字在计算机中的表示

原码、反码和补码都是计算机中用于表示有符号整数的方式。它们的使用旨在解决计算机硬件中的溢出和算术运算问题。

1. 原码（Sign-Magnitude）： 原码最简单，它的表示方式是用最高位表示符号位，0表示正数，1表示负数，其余位表示数值的绝对值。例如，+5 的原码是 00000101，-5 的原码是 10000101。

2. 反码（One's Complement）： 反码表示方式在原码的基础上，负数的表示方式稍作修改。对于正数，反码与原码相同。对于负数，反码是将原码中的1变成0，0变成1。例如，+5 的反码仍然是 00000101，-5 的反码是 11111010。

3. 补码（Two's Complement）： 补码是计算机中最常用的表示方式。它也在原码的基础上稍作修改。对于正数，补码与原码相同。对于负数，补码是将原码中的1变成0，然后在最低位加1。例如，+5 的补码仍然是 00000101，-5 的补码是 11111011。

为什么需要反码和补码以及它们的优点

• 解决0的表示问题： 在原码中，+0 和 -0 有不同的表示，这可能引起混淆。而在反码和补码中，+0 和 -0 都有相同的表示。

• 简化加法运算： 使用补码可以简化加法运算，因为负数的补码加法可以与正数的加法一样进行，而不需要额外的规则。

• 解决溢出问题： 补码在进行加法和减法时，能够自然地处理溢出。当结果超出表示范围时，溢出的位会被丢弃，而不会引发错误。

计算机是如何进行加减运算的

• 加法运算： 在计算机中，加法运算通常使用补码来执行。两个数相加，首先将它们的补码相加，然后检查是否有溢出。如果有溢出，溢出的位将被丢弃。补码的加法可以简化为模运算，其中模是2的n次方，n 是数据类型的位数。结果可能会包含一个溢出标志位，用于指示运算是否溢出。

• 减法运算： 减法运算也使用补码来执行。将被减数的补码与减数的补码相加，然后检查是否有溢出。同样，结果可能会包含一个溢出标志位。这种方式使加法和减法可以使用相同的硬件电路来执行，从而简化了计算机的设计。

原码、反码和补码是计算机中表示有符号整数的方式，它们在解决符号、0表示和溢出问题方面各具优势。补码通常是最常用的表示方式，因为它能够自然地处理加法和减法，并且不需要特殊的规则。

2.位运算规则

位运算是计算机中用于操作二进制位的一组操作符。这些操作符允许您直接操纵数字的二进制表示，通常用于执行一些特定的位级操作。以下是常见的位运算操作和规则：

（1）与、或、异或、取反

1. 按位与（AND）： 使用 & 操作符执行按位与操作。将两个数字的每个位都与对应位置的位进行比较，如果都为1，则结果位为1，否则为0。

   5 & 3 = 1
   // 5 的二进制表示：101
   // 3 的二进制表示：011
   // 按位与的结果：001
   

2. 按位或（OR）： 使用 | 操作符执行按位或操作。将两个数字的每个位都与对应位置的位进行比较，如果至少有一个为1，则结果位为1，否则为0。

   5 | 3 = 7
   // 5 的二进制表示：101
   // 3 的二进制表示：011
   // 按位或的结果：111
   

3. 按位异或（XOR）： 使用 ^ 操作符执行按位异或操作。将两个数字的每个位都与对应位置的位进行比较，如果两个位不同，则结果位为1，否则为0。

   5 ^ 3 = 6
   // 5 的二进制表示：101
   // 3 的二进制表示：011
   // 按位异或的结果：110
   

4. 按位取反（NOT）： 使用 ~ 操作符执行按位取反操作。将数字的每个位都翻转，0 变为1，1 变为0。

   ~5 = -6  // 注意：取反后可能是负数
   // 5 的二进制表示：101
   // 按位取反的结果：-110
   

5. 左移（<<）和右移（>>)： 使用 << 操作符执行左移操作，将数字的二进制表示向左移动指定的位数，右侧用0填充。使用 >> 操作符执行右移操作，将数字的二进制表示向右移动指定的位数，左侧用符号位（对于有符号数）或0填充。

   5 << 2 = 20
   // 5 的二进制表示：00000101
   // 左移2位的结果：00010100
   
   -5 >> 1 = -3
   // -5 的二进制表示：11111011
   // 右移1位的结果：11111101
   

（2）算术移位和逻辑移位

算术移位是一种将数字的二进制位向左或向右移动的操作，但与逻辑移位不同，它在向右移动时保留了符号位。对于正数，算术右移将在左侧填充0，而对于负数，算术右移将在左侧填充1，以保持负数的符号。

• 算术右移：右侧填充0或1，取决于数字的符号。
• 算术左移：左侧填充0。

例子：

正数 5 的二进制表示： 0000 0101

正数 5 的算术右移 1 位： 0000 0010（保留符号位0，右侧填充0）

负数 -5 的二进制表示： 1111 1011

负数 -5 的算术右移 1 位： 1111 1101（保留符号位1，右侧填充1）

逻辑移位（Logical Shift）

逻辑移位是一种将数字的二进制位向左或向右移动的操作，不考虑符号位。逻辑移位在向右或向左移动时都填充0。

• 逻辑右移：右侧填充0。
• 逻辑左移：左侧填充0。

例子：

正数 5 的二进制表示： 0000 0101

正数 5 的逻辑右移 1 位： 0000 0010

负数 -5 的二进制表示： 1111 1011

负数 -5 的逻辑右移 1 位： 0111 1101

总结：

• 算术移位保留符号位并根据符号位进行填充，因此用于数学运算，如除法和乘法。
• 逻辑移位不考虑符号位，始终填充0，通常用于位级操作和数据处理。

（3）位运算常用技巧

1. 获取特定位的值：

   num = 42   # 二进制：101010
   bit_2 = (num >> 2) & 1  # 获取第2位的值
   print(bit_2)  # 输出 1
   

   获取第n位的值：使用右移和按位与操作 ((num >> n) & 1)。这将把第n位的值提取出来（0或1）。

2. 设置特定位的值：

   设置第n位为1：使用按位或操作 num |= (1 << n)。

3. 清零特定位：

   清零第n位：使用按位与和取反操作 num &= ~(1 << n)。

4. 更新特定位的值：

   更新第n位的值为1或0：首先清零第n位，然后使用按位或操作设置新值。

这些技巧可以用于对二进制数据进行高效的位级操作，例如对寄存器或标志位进行处理，或者用于位图操作等。在实际编程中，它们通常用于优化性能、节省内存或执行特定的位级任务。