代码随想录算法训练营第五十三天|1143.最长公共子序列、1035.不相交的线、53. 最大子序和

1143.最长公共子序列 ★

文档讲解 ： 代码随想录 - 1143.最长公共子序列
状态：再次回顾。（★：需要多次回顾并重点回顾。）

本题和动态规划：718. 最长重复子数组 (opens new window)区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

2. 确定递推公式
   主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

   • 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
   • 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

   if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
       dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
   } else {
       dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
   }
   

3. dp数组如何初始化
   test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
   同理dp[0][j]也是0。

4. 确定遍历顺序
   从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
   
   那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

5. 举例推导dp数组:
   以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

• 时间复杂度: $O(n\ast m)$，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
• 空间复杂度: $O(n\ast m)$

1035.不相交的线

文档讲解 ： 代码随想录 - 1035.不相交的线
状态：再次回顾。

本题和动态规划：1143.最长公共子序列 (opens new window)是一样的。

本题代码：

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[A.size()][B.size()];
    }
};

• 时间复杂度: $O(n\ast m)$
• 空间复杂度: $O(n\ast m)$

53. 最大子序和

文档讲解 ： 代码随想录 - 53. 最大子序和
状态：再次回顾。

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

2. 确定递推公式
   dp[i]只有两个方向可以推出来：

   • dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
   • nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
     一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

3. dp数组如何初始化
   dp[0] = nums[0];

4. 确定遍历顺序
   递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。

5. 举例推导dp数组:
   以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$