大地经纬度坐标与地心地固坐标的的转换
文章目录
- 1. 概述
- 2. 推导
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- 2.1. BLH->XYZ
- 2.2. XYZ->BLH
- 3. 实现
- 4. 参考
1. 概述
要解决这个问题首先得理解地球椭球这个概念，这里直接用武汉大学《大地测量学基础》（孔详元、郭际明、刘宗全）的解释吧：
大地经纬度坐标系是地理坐标系的一种，也就是我们常说的经纬度坐标+高度。经纬度坐标用的虽然多，但是很多人并没有理解经纬度的几何意义：纬度是一种线面角度，是坐标点P的法线与赤道面的夹角（注意这个法线不一定经过球心）；经度是面面角，是坐标点P所在的的子午面与本初子午面的夹角。这也是为什么经度范围是-180 ~ +180，纬度范围却是-90 ~ +90：
地心地固坐标系就是我们常用的笛卡尔空间直角坐标系了。这个坐标系以椭球球心为原点，本初子午面与赤道交线为X轴，赤道面上与X轴正交方向为Y轴，椭球的旋转轴(南北极直线)为Z轴。显然，这是个右手坐标系：
显然，两者都是表达的都是空间中某点P，只不过一个是经纬度坐标（BLH），一个是笛卡尔坐标（XYZ）；两者是可以相互转换的。
2. 推导
2.1. BLH->XYZ
将P点所在的子午椭圆放在平面上，以圆心为坐标原点，建立平面直接坐标系：
对照地心地固坐标系，很容易得出：
{ Z = y X = x ⋅ c o s L Y = x ⋅ s i n L (1) \begin{cases} Z = y\\ X = x \cdot cosL\\ Y = x \cdot sinL\\ \end{cases} \tag{1} ⎩⎪⎨⎪⎧Z=yX=x⋅cosLY=x⋅sinL(1)
那么，关键问题在于求子午面直角坐标系的x,y。过P点作原椭球的法线Pn，他与子午面直角坐标系X轴的夹角为B；过P点作子午椭圆的切线，它与X轴的夹角为(90°+B):
根据椭圆的方程，位于椭圆的P点满足：
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 (1.2) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{1.2} a2x2+b2y2=1(1.2)
对x求导，有：
d y d x = − b 2 a 2 ⋅ x y (2) \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x}{y} \tag{2} dxdy=−a2b2⋅yx(2)
又根据解析几何可知，函数曲线（椭圆）某一点（就是P点）的倒数为该点切线的斜率，也就是正切值：
d y d x = t a n ( 9 0 o + B ) = − c o t B (3) \frac{dy}{dx} = tan(90^o + B) = -cotB \tag{3} dxdy=tan(90o+B)=−cotB(3)
联立公式（2）(3)，可得：
y = x ( 1 − e 2 ) t a n B (4) y = x(1-e^2)tanB \tag{4} y=x(1−e2)tanB(4)
其中，e为椭圆第一偏心率：
e = − a 2 − b 2 a e = -\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} e=−aa2−b2
令Pn的距离为N，那么显然有：
x = N c o s B (4-2) x = NcosB \tag{4-2} x=NcosB(4-2)
根据（4）式可得：
y = N ( 1 − e 2 ) s i n B (4-3) y = N(1-e^2)sinB \tag{4-3} y=N(1−e2)sinB(4-3)
将其带入（1）式，可得到椭球上P点的坐标为：
{ X = N c o s B c o s L Y = N c o s B s i n L Z = N ( 1 − e 2 ) s i n B (5) \begin{cases} X = NcosBcosL\\ Y = NcosBsinL\\ Z = N(1-e^2)sinB\\ \end{cases} \tag{5} ⎩⎪⎨⎪⎧X=NcosBcosLY=NcosBsinLZ=N(1−e2)sinB(5)
那么唯一的未知量就是Pn的长度N了，将（4）式带入到椭圆方程式(1.2)：
x 2 a 2 + x 2 ( 1 − e 2 ) 2 t a n 2 B b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2(1-e^2)^2tan^2B}{b^2} = 1 a2x2+b2x2(1−e2)2tan2B=1
化简，得：
x = a c o s B 1 − e 2 s i n 2 B (6) x = \frac{acosB}{\sqrt{1-e^2sin^2B}} \tag{6} x=1−e2sin2BacosB(6)
联立式（5）式（6），得：
N = a 1 − e 2 s i n 2 B (6) N = \frac{a}{\sqrt{1-e^2sin^2B}} \tag{6} N=1−e2sin2Ba(6)
通过式（5）式（6），可以计算椭球上某一点的坐标。但这个点并不是我们真正要求的点，我们要求的点P(B,L,H)是椭球面沿法向量向上H高度的点：
P点在椭球面上的点为 P 0 P_0 P0，那么根据矢量相加的性质，有：
P = P 0 + H ⋅ n (6) P = P_0 + H \cdot n \tag{6} P=P0+H⋅n(6)
其中， P 0 P_0 P0也就是式(5)，而n是 P 0 P_0 P0在椭球面的法线单位矢量。
矢量在任意位置的方向都是一样的，那么我们可以假设存在一个单位球(球的半径为单位1)，将法线单位矢量移动到球心位置，可得法线单位矢量为：
n = [ c o s B c o s L c o s B s i n L s i n B ] (7) n = \left[ \begin{matrix} cosBcosL \\ cosBsinL \\ sinB \\ \end{matrix} \right] \tag{7} n=⎣⎡cosBcosLcosBsinLsinB⎦⎤(7)
因此有：
P = [ X Y Z ] = [ ( N + H ) c o s B c o s L ( N + H ) c o s B s i n L [ N ( 1 − e 2 ) + H ] s i n B ] (8) P = \left[ \begin{matrix} X \\ Y \\ Z \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} (N+H)cosBcosL \\ (N+H)cosBsinL \\ [N(1-e^2) + H]sinB \\ \end{matrix} \right] \tag{8} P=⎣⎡XYZ⎦⎤=⎣⎡(N+H)cosBcosL(N+H)cosBsinL[N(1−e2)+H]sinB⎦⎤(8)
其中：
N = a 1 − e 2 s i n 2 B (9) N = \frac{a}{\sqrt{1-e^2sin^2B}} \tag{9} N=1−e2sin2Ba(9)
2.2. XYZ->BLH
根据式（8），可知：
Y X = ( N + H ) c o s B s i n L ( N + H ) c o s B c o s L = t a n L \frac{Y}{X} = \frac{(N+H)cosBsinL}{(N+H)cosBcosL} = tanL XY=(N+H)cosBcosL(N+H)cosBsinL=tanL
因此有：
L = a r c t a n ( Y X ) (10) L = arctan(\frac{Y}{X}) \tag{10} L=arctan(XY)(10)
不过纬度Ｂ就不是那么好算了，首先需要计算法线Pn在赤道两侧的长度。根据图1，有：
y = P Q s i n B y = PQsinB y=PQsinB
与式（4-3）比较可得：
P Q = N ( 1 − e 2 ) PQ = N(1-e^2) PQ=N(1−e2)
显然，由于：
P n = N = P Q + Q n Pn = N = PQ + Qn Pn=N=PQ+Qn
有：
Q n = N e 2 Qn = Ne^2 Qn=Ne2
接下来如下图所示，对图1做辅助线：
有：
{ P P ′ ′ = Z O P ′ ′ = x 2 + y 2 P P ′ ′ ′ = O K p = Q K p s i n B = N e 2 s i n B P ′ ′ P ′ ′ ′ = P P ′ ′ ′ + P P ′ ′ \begin{cases} PP'' = Z\\ OP'' = \sqrt{x^2+y^2}\\ PP''' = OK_p = QK_psinB = Ne^2sinB\\ P''P''' = PP''' + PP'' \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧PP′′=ZOP′′=x2+y2PP′′′=OKp=QKpsinB=Ne2sinBP′′P′′′=PP′′′+PP′′
因而可得：
t a n B = Z + N e 2 s i n B x 2 + y 2 (11) tanB = \frac{Z+Ne^2sinB}{\sqrt{x^2+y^2}} \tag{11} tanB=x2+y2Z+Ne2sinB(11)
这个式子两边都有待定量B，需要用迭代法进行求值。具体可参看代码实现，初始的待定值可取 t a n B = z x 2 + y 2 tanB = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} tanB=x2+y2z。
大地纬度B已知，那么求高度H就非常简单了，直接根据式（8）中的第三式逆推可得：
H = Z s i n B − N ( 1 − e 2 ) (12) H = \frac{Z}{sinB} - N(1-e^2) \tag{12} H=sinBZ−N(1−e2)(12)
汇总三式，可得：
{ L = a r c t a n ( Y X ) t a n B = Z + N e 2 s i n B x 2 + y 2 H = Z s i n B − N ( 1 − e 2 ) \begin{cases} L = arctan(\frac{Y}{X})\\ tanB = \frac{Z+Ne^2sinB}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ H = \frac{Z}{sinB} - N(1-e^2)\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧L=arctan(XY)tanB=x2+y2Z+Ne2sinBH=sinBZ−N(1−e2)
3. 实现
根据前面的推导过程，具体的C/C++代码实现如下：
#include
using namespace std;
const double epsilon = 0.000000000000001;
const double pi = 3.14159265358979323846;
const double d2r = pi / 180;
const double r2d = 180 / pi;
const double a = 6378137.0; //椭球长半轴
const double f_inverse = 298.257223563; //扁率倒数
const double b = a - a / f_inverse;
//const double b = 6356752.314245; //椭球短半轴
const double e = sqrt(a * a - b * b) / a;
void Blh2Xyz(double &x, double &y, double &z)
{
double L = x * d2r;
double B = y * d2r;
double H = z;
double N = a / sqrt(1 - e * e * sin(B) * sin(B));
x = (N + H) * cos(B) * cos(L);
y = (N + H) * cos(B) * sin(L);
z = (N * (1 - e * e) + H) * sin(B);
}
void Xyz2Blh(double &x, double &y, double &z)
{
double tmpX = x;
double temY = y ;
double temZ = z;
double curB = 0;
double N = 0;
double calB = atan2(temZ, sqrt(tmpX * tmpX + temY * temY));
int counter = 0;
while (abs(curB - calB) * r2d > epsilon && counter < 25)
{
curB = calB;
N = a / sqrt(1 - e * e * sin(curB) * sin(curB));
calB = atan2(temZ + N * e * e * sin(curB), sqrt(tmpX * tmpX + temY * temY));
counter++;
}
x = atan2(temY, tmpX) * r2d;
y = curB * r2d;
z = temZ / sin(curB) - N * (1 - e * e);
}
int main()
{
double x = 113.6;
double y = 38.8;
double z = 100;
printf("原大地经纬度坐标：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
Blh2Xyz(x, y, z);
printf("地心地固直角坐标：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
Xyz2Blh(x, y, z);
printf("转回大地经纬度坐标：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
}
其最关键的还是计算大地纬度B时的迭代过程，其余的计算都只是套公式。数值计算中的很多算法都是采用迭代趋近的方法来趋近一个最佳解。最后的运行结果如下：
4. 参考
- 大地坐标与地心坐标相互转换
- World Geodetic System 1984 (WGS84)