海明校验码

二进制数据在 传送、存取等环节，可能会发生 误码(1变成0或0变成1). 如何发现并纠正 误码? 解决此类问题的思路是在原始数据(数码位)基础上增加几位校验位。常使用的检验码有三种. 分别是 奇偶校验码、海明校验码和循环冗余校验码(CRC)^[1]

其中 奇偶校验码^[2] 只能查是否有错误而无法纠错，且要求只能有一位出现错误。

为了能找到发生错误的位置，而有了 海明校验码^[3]

实际上本质来说, 海明码是升级款的奇偶校验码,其采用了一种非常巧妙的方式,把这串数字(即要传输的内容)分了组,通过分组校验来确定哪一位出现了错误

类似KMP算法,描述起来很麻烦,实际上使用起来却很简单

"海明"也被译为"汉明"

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实例

数据位为8的数据 ,求海明码

1.计算校验位的个数

设数据位为n位，校验位P为k位，则n和k必须满足以下关系：

此例中有 ，可得k最小应为4，即 16 - 1 ≥ 8 + 4。

(奇偶校验称为 Parity Check,Parity Bit即奇偶校验位,故用P表示校验位)

2.计算校验位的位置

2.1 海明码的总位数

设校验位为P,数据位为D,海明码为H,则海明码H的位数为数据的位数和校验码的位数相加,

在此即为 8+4 = 12 位

2.2 校验码的位置

校验位P 在海明码的第 位，即 ， ，i从1开始计数。

无论是海明码、校验位还是数据位，均从右向左排列，即从低位向高位排列。

可先填入校验码的位置，再将数据位依次从低位到高位填入

如此例,i即为 1,2,3,4, 故有:

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3.确定每个数据位 都由哪些校验码进行校验

根据 的公式,可知 、 、 、 的下标分别为8、4、2、1

确定 每个数据位都是由哪些校验码(P)进行校验的

数据位D的下标,等于其校验位的下标之和

---

4.计算校验码的值

校验码的值 为有参与校验的数据依次从低到高异或的值。

(异或:相同为0,相异为1)

因为

参与了 、 、 、 、 等数据位的校验。
参与了 、 、 、 、 等数据位的校验。
参与了 、 、 、 等数据位的校验。
参与了 、 、 、 等数据位的校验。
所以：（ ）

---
### 5.错误校验
确定错误校验 ，校验码有几位，错误校验就有几位。
如果采用*偶校验*则结果全为0时没有错误，如果采用*奇校验*则结果全为1时没有错误

、 、 、 、
、 、 、
、 、 、
则 ，表示没有异常。假如结果为0100则转为十进制为8，表示第八位存在异常。
--- 海明码是一种纠错码，其方法是为需要校验的数据位增加若干校验位，使得校验位的值决定于某些被校位的数据，当被校数据出错时，可根据校验位的值的变化找到出错位，从而纠正错误。对于32位的数据，至少需要增加（ ）个校验位才能构成海明码。 以10位数据为例，其海明码表示为 D（0≤i≤9）表示数据位，P （1 ≤j≤4）表示校验位，数据位D由（ ）进行校验。   ---
参考: [软考笔记--海明码](https://blog.csdn.net/lang523493505/article/details/101036488 "软考笔记--海明码") [简单理解海明校验码](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1598006039749022275 "简单理解海明校验码") [hamming code通俗易懂的解释](https://blog.csdn.net/Yonggie/article/details/83186280 "hamming code通俗易懂的解释") [软考-计算机系统知识之海明码](https://blog.csdn.net/ma15732625261/article/details/52829423 "软考-计算机系统知识之海明码") [白话——海明校验码及编码过程](https://blog.csdn.net/CAUC_yangxiao/article/details/86477863 "白话——海明校验码及编码过程") [理解海明校验法](https://www.cnblogs.com/hdxg/p/13874456.html "理解海明校验法") [【软考】校验码之详细总结](https://blog.csdn.net/yujing1314/article/details/83617016 "【软考】校验码之详细总结") [软考-海明码-单位错-冗余位数](https://zhuanlan.zhihu.com/p/84679719 "软考-海明码-单位错-冗余位数") $$

参考资料

[1]

循环冗余校验码(CRC): https://dashen.tech/2021/02/17/CRC%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%8E%9F%E7%90%86/

[2]

奇偶校验码: https://baike.baidu.com/item/%E5%A5%87%E5%81%B6%E6%A0%A1%E9%AA%8C%E7%A0%81/4403451

[3]

海明校验码: https://baike.baidu.com/item/%E6%B1%89%E6%98%8E%E7%A0%81/3226749

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