图的邻接矩阵与邻接表

目录

一、图的概念

二、邻接矩阵

2.1 邻接矩阵存储

2.2 邻接矩阵结构

2.3 构造邻接矩阵

2.4 边的添加

三、邻接表

3.1 邻接矩阵存储

3.2 邻接表结构

3.3 构造邻接表

3.4 边的添加

三、 图的遍历

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一、图的相关概念

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G=（V,E）其中：

• 顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边基座ek，ek=(vi,vj)或。
• 顶点集合V={x|x某个数据对象集}是个有穷非空集合；
• 边的集合E={(x,y)|x,y属于V}或者E={|x,y属于V && Path(x,y)}是顶点间关系的有穷集合.
• (x,y)表示x到y的一条双向通路，即(x,y)是无方向的；Path(x,y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x,y)是有方向的。

有向图与无向图：        

        在有向图中，顶点对是有序的，顶点对称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，和是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x,y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点相关联的一条边，这条边没有特定的方向，(x,y)和(y,x)是同一条边，比如下图G1和G2就是无向图。注意：无向边(x,y)等于有向边和。

完全图：

        在有 n 个顶点的无向图中，若有n*(n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则此图称为无向完全图，比如上图中的G1；

        在有 n 个顶点的有向图中，若有n*(n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图的G4.

邻接顶点：

        在无向图G中，若(u,v)是E(G)中的一条边，则称为u和v互为邻接顶点，并称为边(u,v)依附于顶点u和v。在有向图G中，若是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边与顶点u和顶点v相关联。

顶点的度：

        顶点v的度是指与他相关联的边的条数，记作deg(V)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的出度和入读之和，其中顶点v的入度就是以v为终点的有向边的条数，基座indev(V);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(V)。因此：dev(V)=inndev(V)+outdev(V)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(V)=indev(V)+outdev(V)。

路径与路径长度：

        在图G=(V,E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。

路径长度：

        对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路：

        若路径上各顶点v1、v2、v3……vn均不重复，则称这样的路径为简单路径。

        若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vn重合，则称这样的路径为回路或者环。

子图：

        设图G={V,E}和G1={V1,E1}，若v1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。

连通图与强连通图：        

        在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与v2是连通的。如果途中任一对顶点是连通的，则称此图为连通图。

        在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。

二、邻接矩阵

2.1 如何存储

图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边的关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该如何保存呢？

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将顶点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

以下是使用矩阵的方式保存无向图、有向图的边：

注意：

1. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点 i 的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第 i 行(列)元素之后就是顶点 i 的出(入)度。
2. 如果边带有权值，并且二个节点之间是连通的，上图的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不同，则使用无穷大代替。
3. 邻接矩阵的优点是能够快速知道两个顶点是否连通。
4. 邻接矩阵的缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个顶点之间的路径不是很好求。而且不适合查找一个顶点连接的所有顶点。

2.2 邻接矩阵结构

我们使用邻接矩阵来保存图中的所有数据，我们要使用三种结构来实现：

1. 保存图中所有顶点的数组。
2. 记录图中顶点与数组下标的映射关系。
3. 矩阵(二维数组)保存图中的边数据集合。

那我们的结构就要进行以下这种方式的定义：

再介绍一下模板参数：

V：表示顶点的数据类型，一般为char型(A、B、C)。

W：表示边上权值的数据类型，一般为int型。

W MAX_W：非类型模板参数，表示当两顶点间不连通时的权值，默认为INT_MAX。

Direction：默认为false，表示无向图，传入true表示有向图。

2.3 构造邻接矩阵

传入顶点数组，我们便可以构造图。第一步将顶点放入顶点数组中；第二步就是开辟矩阵。

//传入顶点数组进行初始化
Graph(const V* a, size_t n)
{
	//step1: 将顶点存入顶点数组中
	_vertexs.reserve(n);
	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	{
		_vertexs.push_back(a[i]);
		_indexMap[a[i]] = i;
	}
	//step2:创建矩阵
	_matrix.resize(n);
	for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
	{
		_matrix[i].resize(n, MAX_W);
	}
}

2.4 边的添加

首先添加边我们要知道顶点对应的矩阵下标是多少，我们已经使用Map存放了对应的映射关系，接下来我们可以将其封装成一个函数获取对应的矩阵下标。

size_t GetVertexIndex(const V& v)
{
	auto it = _indexMap.find(v);
	if (it != _indexMap.end())
	{
		return it->second;
	}
	else
	{
		throw invalid_argument("顶点不存在");
		return -1;
	}
}

然后我们获取顶点的下标，在矩阵中添加边的信息。

接下来就要判断，如果是有向图，那只用添加一条边即可，如果是无向图，那对称位置也要进行设置。

void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
	_matrix[srci][dsti] = w;
	if (!Direction)
		_matrix[dsti][srci] = w;
}

有了添加边我们就可以简单的测试一下， 接下来写的一个简易的Print函数：

void Print()
{
	//打印顶点和下标的映射关系
	for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
	{
		cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
	}
	cout << endl << "  ";

	for (auto i : _vertexs)
		cout << i << " ";
	cout << endl;
	//打印矩阵
	for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
	{
		cout << _vertexs[i] << " ";
		for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j)
		{
			if (_matrix[i][j] == INT_MAX) cout << "#" << " ";
			else cout << _matrix[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
}

测试代码与测试结果：

void testgraph2()
{
	matrix::Graph g("ABCD", 4);
	g.AddEdge('A', 'B', 1);
	g.AddEdge('A', 'D', 4);
	g.AddEdge('B', 'D', 2);
	g.AddEdge('B', 'C', 9);
	g.AddEdge('C', 'D', 8);
	g.AddEdge('C', 'B', 5);
	g.AddEdge('C', 'A', 3);
	g.AddEdge('D', 'B', 6);
	g.Print();
}

三、邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。

3.1 如何存储

1.无向图邻接表存储

注意：

        无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表结合中节点的数据即可。

2.有向图邻接表存储

通常我们都是实现的出边表

3.2 邻接表结构

因为邻接表是类似于指针数组，数组中存放的是节点的指针，我们先来定义各个节点的结构吧。

邻接表中的各个节点其实就是表示图中的边，这里我们实现的出边表，所以我们的节点需要保存：1.目标点的下标；2.边的权值；3.下一个节点的指针

template
struct Edge
{
    //传入目标点
	Edge(const int dsti, const W& w)
		:_dsti(dsti), _w(w), _next(nullptr)
	{}

	int _dsti;           //目标点的下标
	W _w;              //边的权值
	Edge* _next; //下一个节点的指针
};

接下来我们图的邻接表的结构于邻接矩阵的结构非常相似了，只不过是将矩阵换成了邻接表：

template
class Graph
{
	typedef Edge Edge;
private:
	vector _vertexs;      //顶点集合
	map _indexMap;   //顶点映射下标
	vector _tables;   //邻接表
};

3.3 构造邻接表

分为两步，第一步是将顶点存入顶点数组中；第二步就是开辟邻接表的空间，让其存放边节点。

//使用顶点集合进行构造
Graph(const V* a, size_t n)
{
	//step1: 将顶点存入顶点数组中
	_vertexs.reserve(n);
	for (size_t i = 0; i < n; i++)
	{
		_vertexs.push_back(a[i]);
		_indexMap[a[i]] = i;
	}

	//step2:开辟邻接表的空间
	_tables.resize(n, nullptr);
}

3.4 边的添加

首先我们要new一个节点，使用头插法将该节点插入到指针数组中。

如果是无向图，那还要在目标点也添加一条对应的边。

void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	size_t dsti = GetVertexIndex(dst);

	// 1->2
	Edge* eg = new Edge(dsti, w);
	eg->_next = _tables[srci];
	_tables[srci] = eg;

	// 2->1
	if (Direction == false)
	{
		Edge* eg = new Edge(srci, w);
		eg->_next = _tables[dsti];
		_tables[dsti] = eg;
	}
}

实现了图的构造和边的添加，接下来我们实现一个打印函数就可以进行测试了。代码与结果如下：

void Print()
{
	// 顶点
	for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
	{
		cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
	}
	cout << endl;

	for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
	{
		cout << _vertexs[i] << "[" << i << "]->";
		Edge* cur = _tables[i];
		while (cur)
		{
			cout << "[" << _vertexs[cur->_dsti] << ":" << cur->_dsti << ":" << cur->_w << "]->";
			cur = cur->_next;
		}
		cout << "nullptr" << endl;
	}
}

三、源代码与测试用例

邻接矩阵：

namespace matrix
{
	//Direction表示是否有向，一般无向居多;MAX_W表示无权的边，赋值为int_max
	template
	class Graph
	{
	public:
		//传入顶点数组进行初始化
		Graph(const V* a, size_t n)
		{
			//step1: 将顶点存入顶点数组中
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				_vertexs.push_back(a[i]);
				_indexMap[a[i]] = i;
			}
			//step2:创建矩阵
			_matrix.resize(n);
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
			{
				_matrix[i].resize(n, MAX_W);
			}
		}

		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto it = _indexMap.find(v);
			if (it != _indexMap.end())
			{
				return it->second;
			}
			else
			{
				throw invalid_argument("顶点不存在");
				return -1;
			}
		}

		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
			_matrix[srci][dsti] = w;
			if (!Direction)
				_matrix[dsti][srci] = w;
		}
		void Print()
		{
			//打印顶点和下标的映射关系
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
			}
			cout << endl << "  ";

			for (auto i : _vertexs)
				cout << i << " ";
			cout << endl;
			//打印矩阵
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
			{
				cout << _vertexs[i] << " ";
				for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j)
				{
					if (_matrix[i][j] == INT_MAX) cout << "#" << " ";
					else cout << _matrix[i][j] << " ";
				}
				cout << endl;
			}
		}
	private:
		vector _vertexs;         //存放图中的所有顶点
		map _indexMap;      //顶点与数组下标的映射
		vector> _matrix;  //保存边集合的矩阵
	};
}

邻接表：

//邻接表
namespace link_table
{
	//结点
	template
	struct Edge
	{
		//传入目标点
		Edge(const int dsti, const W& w)
			:_dsti(dsti), _w(w), _next(nullptr)
		{}

		int _dsti;           //目标点的下标
		W _w;              //边的权值
		Edge* _next; //下一个节点的指针
	};

	template
	class Graph
	{
		typedef Edge Edge;
	public:
		//使用顶点集合进行构造
		Graph(const V* a, size_t n)
		{
			//step1: 将顶点存入顶点数组中
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs.push_back(a[i]);
				_indexMap[a[i]] = i;
			}

			//step2:开辟邻接表的空间
			_tables.resize(n, nullptr);
		}

		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto it = _indexMap.find(v);
			if (it != _indexMap.end())
			{
				return it->second;
			}
			else
			{
				throw invalid_argument("顶点不存在");
				return -1;
			}
		}

		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			//如果是无向图，那A的边集合处要进行添加，即添加两条边
			//如果是有向图，只用添加src到dst的边即可。

			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
			//构造节点
			Edge* eg = new Edge(dsti, w);
			//头插节点---效率高
			eg->_next = _tables[srci];
			_tables[srci] = eg;

			//如果是无向图
			if (!Direction)
			{
				Edge* eg = new Edge(srci, w);
				eg->_next = _tables[dsti];
				_tables[dsti] = eg;
			}
		}
		void Print()
		{
			// 顶点
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
			}
			cout << endl;

			for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
			{
				cout << _vertexs[i] << "[" << i << "]->";
				Edge* cur = _tables[i];
				while (cur)
				{
					cout << "[" << _vertexs[cur->_dsti] << ":" << cur->_dsti << ":" << cur->_w << "]->";
					cur = cur->_next;
				}
				cout << "nullptr" << endl;
			}
		}
	private:
		vector _vertexs;      //顶点集合
		map _indexMap;   //顶点映射下标
		vector _tables;   //邻接表
	};
}

测试用例：

void testgraph1()
{
	matrix::Graph g("0123", 4);
	g.AddEdge('0', '1', 1);
	g.AddEdge('0', '3', 4);
	g.AddEdge('1', '3', 2);
	g.AddEdge('1', '2', 9);
	g.AddEdge('2', '3', 8);
	g.AddEdge('2', '1', 5);
	g.AddEdge('2', '0', 3);
	g.AddEdge('3', '2', 6);
	g.Print();
}

void testgraph2()
{
	matrix::Graph g("ABCD", 4);
	g.AddEdge('A', 'B', 1);
	g.AddEdge('A', 'D', 4);
	g.AddEdge('B', 'D', 2);
	g.AddEdge('B', 'C', 9);
	g.AddEdge('C', 'D', 8);
	g.AddEdge('C', 'B', 5);
	g.AddEdge('C', 'A', 3);
	g.AddEdge('D', 'B', 6);
	g.Print();
}

void TestGraph3()
{
	string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" };
	link_table::Graph g1(a, 4);

	g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
	g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
	g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
	g1.Print();
}
void testgraph4()
{
	link_table::Graph g("ABCD", 4);
	g.AddEdge('A', 'B', 1);
	g.AddEdge('A', 'D', 4);
	g.AddEdge('B', 'D', 2);
	g.AddEdge('B', 'C', 9);
	g.AddEdge('C', 'D', 8);
	g.AddEdge('C', 'B', 5);
	g.AddEdge('C', 'A', 3);
	g.AddEdge('D', 'B', 6);
	g.Print();
}