代码随想录算法训练营第三十八天| 509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯
LeetCode 509 斐波那契数
题目链接：https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number/
思路：
动规五部曲：
用一个一维dp数组来保存递归的结果
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
确定递推公式
为什么这是一道非常简单的入门题目呢？
因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
dp数组如何初始化
题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
代码：
维持数组中有n个数
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if(n<=1) return n;
// 第一步 确定dp数组的下标及含义-----dp[i]代表第i个斐波那契数的值
// 第二步 确定递推公式-----dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
// 第三步 对dp数组初始化-------dp[0] = 0,dp[1] = 1
vectordp(n+1,0);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
// 第四步 确定遍历顺序-----因为dp[i]需要用到前面数，所以需要从前往后遍历
for(int i = 2;i<=n;i++)
{
dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
}
// 第五步 打印dp数组
// for(int i = 0;i 仅维持两个数
实际上dp数组只维持两个数即可，只需不断更新这两个数就好
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if(n<=1) return n;
// 第一步 确定dp数组的下标及含义-----dp[i]代表第i个斐波那契数的值
// 第二步 确定递推公式-----dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
// 第三步 对dp数组初始化-------dp[0] = 0,dp[1] = 1
int dp[2] = {0,1};
// 第四步 确定遍历顺序-----因为dp[i]需要用到前面数，所以需要从前往后遍历
for(int i = 2;i<=n;i++)
{
int sum = dp[0]+dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
// 第五步 打印dp数组
// for(int i = 0;i总结
学习了动态规划要怎么去思考，动规五部曲要怎么用
LeetCode 70 爬楼梯
题目链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/
思路：
上第一层时有一种方法，第二层时有两种方法，第三层时有三种方法，第四层时有五种方法...
规律就是第i层的方法是前两层方法之和。这样就类似斐波那契数了
定义一个一维数组来记录不同楼层的状态
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
确定递推公式
如何可以推出dp[i]呢？
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。
这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性！
dp数组如何初始化
在回顾一下dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]中方法。
那么i为0，dp[i]应该是多少呢，这个可以有很多解释，但基本都是直接奔着答案去解释的。
例如强行安慰自己爬到第0层，也有一种方法，什么都不做也就是一种方法即：dp[0] = 1，相当于直接站在楼顶。
但总有点牵强的成分。
那还这么理解呢：我就认为跑到第0层，方法就是0啊，一步只能走一个台阶或者两个台阶，然而楼层是0，直接站楼顶上了，就是不用方法，dp[0]就应该是0.
其实这么争论下去没有意义，大部分解释说dp[0]应该为1的理由其实是因为dp[0]=1的话在递推的过程中i从2开始遍历本题就能过，然后就往结果上靠去解释dp[0] = 1。
从dp数组定义的角度上来说，dp[0] = 0 也能说得通。
需要注意的是：题目中说了n是一个正整数，题目根本就没说n有为0的情况。
所以本题其实就不应该讨论dp[0]的初始化！
我相信dp[1] = 1，dp[2] = 2，这个初始化大家应该都没有争议的。
所以我的原则是：不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。
确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的
举例推导dp数组
举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的
代码：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if(n<=1) return n;
// dp[i] 代表第i阶有几种方法
// 递推公式：dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]
// 初始化dp数组
vectordp(n+1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 从前往后遍历
for(int i = 3;i<=n;i++)
{
dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
}
// 打印dp数组
for(int i = 0;i 总结
找到dp数组的含义之后，代码不难，轻松写出来。
LeetCode 746 使用最小花费爬楼梯
题目链接：https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/
思路：
确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
对于dp数组的定义，大家一定要清晰！
确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？
一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
dp数组如何初始化
看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。
那么 dp[0] 应该是多少呢？ 根据dp数组的定义，到达第0台阶所花费的最小体力为dp[0]，那么有同学可能想，那dp[0] 应该是 cost[0]，例如 cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] 的话，dp[0] 就是 cost[0] 应该是1。
这里就要说明本题力扣为什么改题意，而且修改题意之后 就清晰很多的原因了。
新题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 从 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。
所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;
确定遍历顺序
最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢？
本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。
因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来。 例如：01背包，都知道两个for循环，一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量，那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢？ 以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒序呢？
这些都与遍历顺序息息相关。当然背包问题后续「代码随想录」都会重点讲解的！
举例推导dp数组
拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：
代码：
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector& cost) {
// dp[i] 代表第i个位置的最小花费
// 在i-1的位置时，跳一格就能到dp[i]-----dp[i] = dp[i-1]+cost[i-1]
// 同理，在i-2的位置时，跳两格就能到dp[i]-----dp[i] = dp[i-2]+cost[i-2]
// 因为本题求的是最小花费，所以dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])
// 初始化dp数组
vectordp(cost.size()+1);
// 因为一开始可以选择在第0个台阶还是第1个台阶起跳，所以dp[0]和dp[1]不花费任何费用
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
// 显然，后面的数值要用到前面的数值，所以从前往后遍历
for(int i = 2;i 总结
不知道该如何确定dp数组的含义，听完讲解后豁然开朗。
今日总结：
第一天学习动态规划，题目相对简单，熟悉了一下动规五部曲，有了一点点感觉，继续加油!