密码学之欧几里得求逆元

什么是逆元

逆元：官方解释是：逆元素是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，在数学里，逆元素广义化了加法中的加法逆元和乘法中的倒数；听起来有一丝不太容易懂；

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那我们换成例子试一下：
(24 + 4) / mod 26 = 2
(24 - 22) / mod 26 = 2
此时，4和22就是mod26下的加法逆元；乘法逆元也是同理

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原理步骤

求A关于模N的逆元B，即求整数B，使得A * B mod N = 1

1. 对余数进行辗转相除（a是商，r是余数）
   

2. 对除了余数为0的商数进行逆向排列（即后求出的商值排在前面），并按照下面的方法生成bi
   

对a逆向排列后如图所示：（图源网络）

3. 判断商的个数为奇数还是偶数

• 若为偶数，则 bn 就是所求的逆元
• 若为奇数，则 N-bn 就是所求的逆元

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示例

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题目：求7关于模26的的逆元

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由题目可知，N = 26，A = 7；按照上面的步骤我们依次求解

（1）对余数进行辗转相除

26 = 7 * a0 + r0	   =>		 a0 = 3，r0 = 5
7 = 5 * a1 + r1	  	   =>		 a1 = 1，r1 = 2
5 = 2 * a2 + r2 	   =>		 a2 = 2，r2 = 1
2 = 1 * a3 + r3 	   =>		 a3 = 2，r3 = 0

（2）对除了余数为0的商逆向排列

			a2 = 2 						 a1 = 1 					 a0 = 3


b-1 = 1		b0=a2=2 				 b1=a1*b0+b-1=3				 b2=a0*b1+b0=11

（3）判断a的个数是奇数还是偶数
a0、a1、a2总共三个，为奇数；因此所求的逆元为 N - bn ，即 26 - 11 = 15

（4）得出结论：7关于模26的逆元为15