傅里叶级数和傅里叶变换

最近在课堂中再次接触了傅里叶级数（FS——Fourier Series）和傅里叶变换（FT——Fourier Transform），这里写一点粗浅的笔记来帮助自己理解。

一、傅里叶级数的意义

首先傅里叶级数是伟大的，它成功的给我们描绘了另一个看待世界的角度，纷纷扰扰变幻莫测的世间万物也许只是上帝早已谱写好的乐章。一切看似无常的变化在傅里叶看来不过是无数个齿轮固定运动的叠加。

为何这么说呢，因为通过傅里叶级数，我们发现一切周期性运动都可以用简单的震荡波叠加而得。当然，更正式的说法是满足对于满足狄利克雷定理的周期函数，不过对于我们大多人来说不太需要了解如此深入。

更简单点，使用书上常用的一幅图来表达：

Input signal 就是我们表面看到的图像，我们也称之为时域（time-domain ）。而中间一堆彩色的简单波就是能够叠加成为这个图像的基础波。反过来说就是这个最终形成的波形图能够分解成为中间这一堆简单的波。

而我们从侧面来看这些波，并将他们映射到二维上，也就是图上的Decomposed signal，我们能看到每个波的振幅高度，我们将这样的二维图称之为频域（frequency-domain）。

二、讲解傅里叶级数

我们在时域上看到的图如何用公式来表示呢，那就是我们的傅里叶级数。回一下，如果要表示一个二维空间向量，我们怎么表示呢，用的是X轴和Y轴两个正交的单位向量，通过赋予他们系数，我们可以表示出二维空间中所有的向量，同理三维空间需要三个正交的单位向量。

而我们的傅里叶级数就可以类比推论，其公式：

其中（颜色没涂好）就是我们的基底，也就是我们在图一中看到的各种彩色的分解波的去掉振幅后的表达方式，而f(x)就是我们的系数，也可以理解为波的振幅。通过这个函数，我们就可以将所有的周期性波（满足狄利克雷定理的）用基础波形图表示出来。

如果你疑惑为什么可以表达为一个波，这里展开讲一下，当然不care的可以直接跳过。

首先我们要知道类似于sine和cosine（sin和cos）图是怎么来的，是单位圆的滚动轨迹。而对于这种类型的算式，我们就要想到这样的形状

 因此我们的可以表示为波的形状。

三、傅里叶变换

但是我们可以注意到，傅里叶级数只能将周期时域转换为非周期频域，也就是说能够通过傅里叶级数将周期性变换的波形图表达为简单的子波形图的叠加。能够将复杂的信号拆分为简单的信号进行分离。但是他太有局限了，仅能支持周期性时域，那么非周期性的呢。

 傅里叶变换作用就是将非周期性时域用非周期性频域表达出来。其实原理很简单：

首先我们要知道傅里叶级数除了上面的复数表达方式外还有三角函数表达方式：

其中T就是我们的图形周期，那么非周期性怎么表示呢？下面是我们对几个图的展示，从第一个较小周期到周期逐渐变大：

其实我们可以发现，非周期性的函数其实就是周期无限大的情况，而且我们也可以发现，随着周期无限大，我们的频域（分解成为的子波形的系数图，也就是傅里叶级数表达式中的f(x))也逐渐从离散的状态变成了连续的。

 那么将T逼近无穷大后，我们的函数通过欧拉变换等逐步推导为：

 反过来可以得到：

 这里的F(w)就是我们的傅里叶变换！