【动态规划】746. 使用最小花费爬楼梯

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本篇是整个动态规划的入门篇章,题目或许可以通过暴力或者其他方法求解但在这里,我们只讨论与动态规划相关的解法.

Gitee链接:面试题 08.01. 三步问题

0. 题目解析

题目链接:746. 使用最小花费爬楼梯

可以从下标0或者1的地方选择向上爬楼梯,终点的层数为cost.size()+1,此时下标为cost.size().

选择最小的花费向上爬.

观察示例一:

我们从下标1的cost[1]=15的位置向上爬,此时支付的费用为15,向上走两层到达下标为3的地方则到达顶层

1. 算法原理

每个动态规划问题我们都会按照如下方法去分析.

1.1 状态表示

也就是dp数组(也称dp表)中,dp[i]所代表的意思是什么?

这个状态表示怎么来的?

1. 分析题目的要求得出来的

2. 根据以往做题的经验+题目的要求得出来的 根据之前做题的经验发现:在线性dp中,dp[i]往往表示从开始到达i时的方法数,如这题来看 dp[i]为到达第i层的最小花费

3. 分析问题中发现重复的子问题 (较难的dp问题的状态表示往往由若干个子状态一起表示)

1.2 状态转移方程

这也就是如何求出dp[i]

我们观察发现，dp[i]可以由前两个台阶的最小花费+跳到当前层所需花费的最小值

例如:到台阶4的时候,可以由**,台阶二,台阶三**的花费推出来

具体的如下:首先,先选择到达2层的最小花费,即为第0层花费10跳到第二层,此时dp表为

按照这个规律,我们依次填完这张表

dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])

1.3初始化

核心思想为:保证数组不越界的情况下,完成我们的状态转移方程.

观察我们的状态转移方程,我们会发现,我们需要的值是i的前二个(i-1,i-2).所以当i=2时,最小位(i-2)此时为0.

这意味着:我们要保证不越界,我们的dp表要从i=2开始填,也就是i=0、1都已经初始化完

结合题目所给条件，我们不难发现：

dp[0]=dp[1]=0,因为我们可以直接从0,1开始走

所以初始化为:dp[0]=dp[1]=0

1.4 填表顺序

为了保证填写当前状态的时候,所需要的状态已经计算过了,我们从左向右填

1.5 返回值

根据我们的dp[i]表示走到第i个台阶的最小花费,而题目要求我们返回 走到顶层的最小花费,所以我们直接返回dp[n]即可

2.算法代码

class Solution {
public:
   int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
       vector<int>dp(cost.size()+10,0);
       dp[0]=0;
       dp[1]=0;
       for(int i=2;i<cost.size()+)
       {
           dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
       }
       return dp[cost.size()];
   }
};

时间复杂度:o(n)

空间复杂度:o(n)

可以使用滚动数组的方法将空间复杂度优化到o(1)级别.

观察状态转移方程.我们发现,虽然我们开辟了n个大小的空间,但我们计算第i个的时候,只会用到前三个的值,这意味着在[0,i-4]这段区间中的数组空间都是浪费的.所以我们可以单独创建三个变量来表示所需要的状态值,来取代这个数组,从而优化空间复杂度.

2.1 法二

第一种方法我们使用的是从左到右的求法,那时的dp[i]为走到第i层所需要的最小花费.

我们可以逆向一下,此时的dp[i]代表:从i走到终点所需要的最小花费

还是刚刚的例子,从第三层与第二层走到重点可以分别跳一格与两格,此时的最小花费为dp[3]=cost[3]=20 dp[2]=cost[2]=20

然后从第一层跳到第四层,需要先到第三层或者第二层,之后再跳到第四层.

此时dp[1]=min(dp[2],dp[3])+cost[1]

所以状态转移方程为:dp[i]=min(dp[i+1],dp[i+2])+cost[i]

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
       vector<int>dp(cost.begin(),cost.end());
       int n=cost.size();
       for(int i=n-3;i>=0;i--)
       {
        dp[i]=min(dp[i+1],dp[i+2])+cost[i];
       }
       return min(dp[0],dp[1]);
    }
};