复杂度分析【数据结构与算法】

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03 | 复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

数据结构和算法解决的是：如果在计算机内存更快时间、更省空间的解决问题。

从执行时间和占用空间两个维度来评估数据结构和算法的性能。

用时间复杂度和空间复杂度来描述性能，二者统称为复杂度。

复杂度描述的是算法执行时间（或占用内存空间）与数据规模的的增长关系。

复杂度分析不依赖于执行环境，成本低，效率高，易操作，指导性强。

掌握复杂度分析，编写出性能更优的代码。

算法的执行时间与每行代码的执行次数成正比，T(n) = O(f(n))，T(n)表示算法执行总时间，f(n) 表示每行代码的执行总次数，n表示数据规模。

时间复杂度（空间复杂度）描述算法的执行时间（额外占用空间）随数据规模增长变化的趋势。常量阶、低阶、系数对增长趋势不产生决定性影响，分析是可以忽略。

时间复杂度：单段代码看高频率（循环），多段代码取最大（单循环和多重循环取多重循环），嵌套代码求乘积（递归，多重新循环等），多个规模求加法（两个参数控制两个循环次数，取二者时间复杂度相加）。

复杂度级别：
多项式比例增长：O(1)，O(logn)，O(n)，O(nlogn)，O(n ^ 2)，O(n ^ 3)。
非多项式暴增：O(2^n)，O(n!)。

多练习分析时间复杂度。

遇到一个新的思路：数据结构横向解决运算时间快和空间省的问题，纵向解决架构和抽象的问题（数据结构和算法的泛型）。

所有数据结构和算法都会涉及时间复杂度和空间复杂度的问题。

为什么需要复杂度分析

先进行良好的设计，然后根据设计进行分析改进，最后再去执行。

事后统计法存在局限性：

• 测试结果依赖环境。
• 测试结果受数据规模影响很大。

举例：计算乘法。测试环境其中影响非常大的就是硬件，对于不同的指令集系统就会对结果有影响，乘法

通过时间复杂度、空间复杂度分析，进行粗略计算算法的执行效率。

很多算法都是适配固定的数据结构和应用场景，没有任何场景都是适用的完美算法。

大 O 复杂度表示法

算法的执行效率：算法代码执行时间越短，效率越高。

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

从CPU的角度看，每一个语句都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。
假设每个语句的执行时间都是一样的为unit_time。

第2行执行 1 次。
第3行执行 1 次。
第4行 i <= n 执行 n + 1次，++i 执行 n 次。
第5行执行了 n 次。

第7行执行 1 次。
这段代码总的执行时间：(3n + 4) * unit_time。

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

第2行执行 1 次。
第3行执行 1 次。
第4行执行 1 次。
第5行 i <= n 执行 n + 1次，++i 执行 n 次。
第6行执行 n 次。
第7行 j <= n 执行 n ^ 2 + 1次，++j 执行 n ^ 2 次。
第8行 n ^ 2 次。
这段代码总的执行时间：(3n ^ 2 + 3n + 5) * unit_time。

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比。